Variación de las constantes para $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t$

Aplicamos el método de variación de las constantes a una ecuación de segundo orden conociendo dos soluciones de la homogénea.

Enunciado
Si la ecuación diferencial $x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=0$ tiene como soluciones $\varphi_1(t)=\sin^2 t$ y $\varphi_2(t)=\sin t$, encontrar una solución particular de $$x^{\prime\prime} +P(t)x^\prime+Q(t)x=\cos t.$$

Solución
Recordamos que si $x=C_1 x_1+C_2x_2+\ldots +C_nx_n$ es la solución general de la ecuación diferencial homogénea $x^{(n)} +a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots +a_1(t)x^\prime +a_0(t)x=0$, entonces la solución general de la ecuación $$x^{(n)} +a_{n-1}x^{(n-1)}+\ldots +a_1(t)x^\prime +a_0(t)x=f(t)$$ es $x=C_1(t) x_1+C_2(t)x_2+\ldots +C_n(t)x_n$ en donde $C_1^\prime(t), C_2^\prime(t),\ldots,C_n^\prime(t)$ son las soluciones del sistema $$\left \{ \begin{matrix}x_1C_1^\prime +x_2C_2^\prime+\ldots +x_nC_n^\prime=0\\x_1^\prime C_1^\prime +x_2^\prime C_2^\prime+\ldots +x_n^\prime C_n^\prime=0 \\\ldots\\x_1^{(n-1)} C_1^\prime +x_2^{(n-1)} C_2^\prime+\ldots +x_n^{(n-1)} C_n^\prime=f(t).\end{matrix}\right.$$ (Método de variación de las constantes).
Las funciones $\varphi_1(t)=\sin^2 t$ y $\varphi_2(t)=\sin t$ son linealmente independientes, en efecto si $\lambda_1 \sin^2 t+\lambda_2 \sin t=0$, dando a $t$ los valores $\pi/2$ y $\pi/4$ obtenemos $$\left \{ \begin{matrix}\lambda_1+\lambda_2=0\\(1/2)\lambda_1+(\sqrt{2}/2)\lambda_2=0 \end{matrix}\right.$$ de lo cual se deduce que $\lambda_1=\lambda_2=0.$ Por tanto, $x=C_1\sin^2t+C_2\sin t$ es solución general de la homogénea. Apliquemos el método de variación de las constantes: $$\left \{ \begin{matrix}(\sin^2t)\;C_1^\prime +(\sin t)\;C_2^\prime=0\\(\sin 2t)\; C_1^\prime +(\cos t)\; C_2^\prime=\cos t .\end{matrix}\right.$$ Resolviendo el sistema obtenemos $C_1^\prime=1/\sin t$ y $C_2^\prime=-1$ con lo cual, $$C_1(t)=\int \frac{dt}{\sin t}\underbrace{=}_{ \tan (t/2)=u}\int \frac{\frac{2du}{1+u^2}}{\frac{u}{1+u^2}}=\int \frac{du}{u}=\log |u|+K_1=\log \left|\tan \frac{t}{2}\right|+K_1,$$ $$C_2(t)=\int -dt=-t+K_2.$$ La solución general de la completa es $x(t)=\left(\log \left|\tan \frac{t}{2}\right|+K_1\right)\sin^2 t+(-t+K_2)\sin t$ y para $K_1=K_2=0$ obtenemos la solución particular $$x(t)=\left(\log \left|\tan \frac{t}{2}\right|\right)(\sin^2 t)-t\sin t.$$

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