Normas de matrices y perturbación de sistemas

En el pdf anexo, estudiamos las normas de matrices y como aplicación, algunas perturbaciones en sistemas lineales:

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    CONTENIDOS
  1. Normas en $\mathbb{K}^{m\times n}$. Dado que el conjunto $\mathbb{K}^{m\times n}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) de las matrices de órdenes $m\times n$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$, una norma en $\mathbb{K}^{m\times n}$ es un caso particular del concepto de norma en cualquier espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$.
  2. Normas inducidas. Definidas sendas normas en $\mathbb{K}^m$ y $\mathbb{K}^n$ y si $A\in\mathbb{K}^{m\times n}$, se define $\left\|A\right\|=\sup_{x\ne 0} \frac{\left\|Ax\right\|}{\left\|x\right\|}.$ Como caso particular tenemos las normas de matrices $\|A\|_p$ en donde las normas elegidas tanto en $\mathbb{K}^m$ y $\mathbb{K}^n$ son las norma vectoriales $\|\;\|_p$ con $p\in[1,\infty].$
  3. Normas inducidas $\mathbf{p=1,2,\infty}$. Proporcionamos teoremas para el cálculo de las normas matriciales $\|A\|_1$, $A\|_2,$ $\|A\|_\infty$.
  4. Norma de Frobenius. Definimos la norma de Frobenius $\|\;\|_F$ en $\mathbb{K}^{m\times n}$ como la norma de matriz asociada al producto interno $\langle A,B\rangle=\text{tr }(B^hA)$ es decir, $\left\|A\right\|_F=\sqrt{\langle A,A\rangle}$. Esta norma es matricial pero no inducida y coincide en $\mathbb{K}^{n\times n}$ con la norma vectorial $\|\;\|_2$ vía el isomorfismo natural $\mathbb{K}^{n\times n}\cong \mathbb{K}^{n^2}.$
  5. Perturbaciones de sistemas linales. Como aplicación, damos acotaciones de errores que se comenten al perturbar algunos sistemas lineales $Ax=b.$
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