Límite de una sucesión por potencia enésima de una matriz

Calculamos el límite de una sucesión numérica usando la potencia enésima de una matriz.

Enunciado
Dada la sucesión $x_n$ tal que $x_1=1,x_2=2$ y $x_{n+2}=\dfrac{1}{2}\left(x_n+x_{n+1}\right)$ probar que $\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{x_n}=\frac{5}{3}.$

Enunciado
Podemos escribir $$\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}}_{X_{n+2}}=\underbrace{\begin{bmatrix}{1/2}&{1/2}\\{1}&{0}\end{bmatrix}}_{A}\underbrace{\begin{bmatrix}{x_{n+1}}\\{x_{n}}\end{bmatrix}}_{X_{n+1.}}$$ Por tanto, $X_{n+2}=AX_{n+1}=A^2X_{n}=\ldots =A^nX_2=A^n\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$ Es decir, $$\lim_{n \to{+}\infty}\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}=\lim_{n \to{+}\infty}A^n\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$$ Valores propios de $A:$ $$\lambda^2-\frac{1}{2}\lambda-\frac{1}{2}=0,\quad \lambda_1=1, \lambda_2=-\frac{1}{2}.$$ Subespacios propios y correspondientes bases: $$V_1\equiv \left \{ \begin{matrix} (-1/2)x_1+(1/2)x_2=0\\x_1-x_2=0\end{matrix}\right.\qquad B_1=\{(1,1)\}.$$ $$V_{-1/2}\equiv \left \{ \begin{matrix} x_1+(1/2)x_2=0\\x_1+(1/2)x_2=0\end{matrix}\right.\qquad B_{-1/2}=\{(-1,2)\}.$$ La matriz $A$ es por tanto diagonalizable, con lo cual, $$A^n=PD^nP^{-1},\quad P=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix},\; D=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{-1/2}\end{bmatrix}.$$ $$\lim_{n \to{+}\infty}\begin{bmatrix}{x_{n+2}}\\{x_{n+1}}\end{bmatrix}=\lim_{n \to{+}\infty}A^n\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}=\lim_{n \to{+}\infty}PD^nP^{-1}\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}$$ $$=P\left(\lim_{n\to+\infty}D^n\right)P^{-1}\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{0}\end{bmatrix}\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{2}&{1}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}$$ $$=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{1}&{0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{5}\\{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5/3}\\{5/3}\end{bmatrix}.$$ Queda $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}x_{n+2}=\lim_{n\to +\infty}x_{n+1}=5/3$, luego $$\lim_{n\to +\infty}x_{n}=5/3.$$

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