Sistema diferencial dependiente de un parámetro

Hallamos la solución general de un sistema diferencial dependiente de un parámetro.

Enunciado
Resolver el sistema diferencial $$\begin{cases}{x^{\prime}}=cx+y+2\\{y^{\prime}}=-c^2x-cy+1 \end{cases}\quad (c\in\mathbb{R}).$$ Solución
En forma matricial, $$\begin{bmatrix}{x^\prime}\\{y^\prime}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{c}&{1}\\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}.$$ Hallemos la forma de Jordan de la matriz $A=\begin{bmatrix}{c}&{1}\\{-c^2}&{-c}\end{bmatrix}.$ El polinomio característico de $A$ es $\chi (\lambda)=\lambda^2$, por tanto el único valor propio es $\lambda=0$ (doble). El subespacio propio asociado es $$V_0\equiv \left \{ \begin{matrix} cx_1+x_2=0\\-c^2x_1-cx_2=0.\end{matrix}\right.$$ La dimensión de $V_0$ es $1$, por tanto $A$ no es diagonalizable. Usando el método de Cálculo de una base de Jordan obtenemos $$P=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{-c}&{1}\end{bmatrix},\quad J=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{bmatrix},\quad P^{-1}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{c}&{1}\end{bmatrix}.$$ Entonces, $$e^{tA}=Pe^{tJ}P^{-1}=Pe^{0t}\begin{bmatrix}{1}&{t}\\{0}&{1}\end{bmatrix}P^{-1}=\ldots=\begin{bmatrix}{1+ct}&{t}\\{-c^2t}&{1-ct}\end{bmatrix}.$$ La solución general del sistema será la dada por la condición inicial $x(0)=C_1$, $y(0)=C_2.$ Usando el método de Sistemas diferenciales lineales no homogéneos con coeficientes constantes, $$\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1+ct}&{t}\\{-c^2t}&{1-ct}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{C_1}\\{C_2}\end{bmatrix}$$ $$+\begin{bmatrix}{1+ct}&{t}\\{-c^2t}&{1-ct}\end{bmatrix}\displaystyle\int_{0}^{t}\begin{bmatrix}{1-cs}&{-s}\\{c^2s}&{1+cs}\end{bmatrix}\;\begin{bmatrix}{2}\\{1}\end{bmatrix}\;ds$$ $$=\ldots=\begin{bmatrix}{2t-(c+1/2)t^2+C_1(1+ct)+C_2t}\\{t+c(c+1/2)t^2-C_1c^2t+C_2(1-ct)}\end{bmatrix}.$$

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