Polinomio que genera primos

Demostramos que si un polinomio con coeficientes enteros proporciona primos a partir de un número natural, el polinomio ha de ser constante.

    Teorema
  1. (Goldbach 1752) Sea $f\in\mathbb{Z}[x]$ tal que $f(n)$ es primo para todo $n\ge 0$ natural. Entonces, $f$ es constante.
  2. Generalización. Si $f\in\mathbb{Z}[x]$ tiene la propiedad de que $f(n)$ es primo para todo natural $n\ge n_0$ con $n_0$ natural, entonces $f$ es constante.
    Demostración
  1. Se verifica $f(0)=p$ primo, por tanto $f(x)$ es de la forma $$f(x)=p+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_rx^r,\quad a_i\in\mathbb{Z}.$$ Entonces, $f(pn)=p+a_1pn+a_2p^2n^2+\ldots+a_rp^rn^r$, con lo cual $p|f(pn)$ para todo $n\ge 0$. Por hipótesis $f(pn)$ primo, luego $f(pn)=p$ para todo $n\ge 0$. Esto implica que el polinomio $f(px)-p$ tiene infinitas raíces, luego $f(px)-p$ es el polinomio nulo.
    Es decir, $$f(px)-p=a_1px+a_2p^2x^2+\ldots+a_rp^rx^r=0,$$ luego $a_1p=a_2p^2=\ldots$ $=a_rp^r=0$, con lo cual $a_1=a_2=\ldots=a_r=0$. Concluimos pues que $f$ es el polinomio constante $f(x)=p.$
  2. Consideremos el polinomio $g(x)=f(x+n_0)\in\mathbb{Z}[x]$. Por hipótesis $g(n)$ es primo para todo natural $n\ge 0$ por tanto, por el apartado anterior, $g$ es constante lo cual implica que $f$ es constante. En efecto, si $f$ no fuera constante existirían $n_1\ne n_2$ naturales con $f(n_1)\ne f(n_2)$. Pero si esto ocurriera, $n_1-n_0\ne n_2-n_0$ y $$g(n_1-n_0)=f(n_1)\ne f(n_2)=g(n_2-n_0).$$ Entonces, $g$ no sería constante (contradicción).

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