Tres integrales a partir de la de Dirichlet

Calculamos tres integrales a partir de la de Dirichlet $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi}{2}.$

    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx.$
  2. Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx.$
  3. Calcular $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^4x}{x^2}dx.$
    Solución
  1. Integramos por partes con $u=1-\cos x$ y $dv=1/x^2$ con lo cual, $du=\sin x,$ $v=-1/x.$ Entonces, $$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx=\left[-\frac{1-\cos x}{x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}dx.$$ Ahora bien, $$\left[-\frac{1-\cos x}{x}\right]_0^{+\infty}=-\lim_{x\to +\infty}\frac{1-\cos x}{x}+\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x}$$ $$=\underbrace{0}_{\text{acot. por infinités.}}+\underbrace{\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2/2}{x}}_{1-\cos x\sim x^2/2\;(x\to 0)}=0.$$ En consecuencia, $$\boxed{\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$$
  2. Integramos por partes con $u=\sin^2x$ y $dv=1/x^2$ con lo cual, $du=2\sin x\cos x=\sin 2x$ $v=-1/x.$ Entonces, $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2}dx=\left[-\frac{\sin ^2x}{x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x}dx.$$ Ahora bien, $$\left[-\frac{\sin^2x}{x}\right]_0^{+\infty}=-\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin^2x}{x}+\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin^2x}{x}$$ $$=\underbrace{0}_{\text{acot. por infinités.}}+\underbrace{\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2}{x}}_{\sin \sim x \;(x\to 0)}=0.$$ En consecuencia, $\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x}dx.$ Efectuando el cambio $t=2x:$ $$\int_0^{+\infty} \frac{\sin 2x}{x}dx=\int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t/2}(dt/2)=\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}.$$ Por tanto, $$\boxed{\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}}$$
  3. Tenemos, $$\sin^4x=(\sin^2x)^2=(1-\cos^2x)^2=1-2\cos^2x+\cos^4 x$$ $$=(1-\cos^2 x)+\cos^2x(\cos^2x-1)=\sin^2x-\cos^2x\sin^2x=\sin^2x-\frac{1}{4}\sin^22x.$$ $$\displaystyle \int_0^{+\infty} \frac{\sin^4x}{x^2}dx=\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^2}dx-\frac{1}{4}\int_0^{+\infty} \frac{\sin^22x}{x^2}dx\underbrace{=}_{t=2x}$$ $$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2t}{t^2/4}(dt/2)=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2t}{t^2}dt=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.$$ $$\boxed{\int_0^{+\infty} \frac{\sin^4x}{x^2}dx=\frac{\pi}{4}}$$

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