Dominios euclidianos

RESUMEN. Definimos el concepto de dominio euclidiano y estudiamos algunas de sus propiedades.

    Recordamos que un dominio de integridad es un anillo conmutativo, unitario y sin divisores de cero. Un dominio euclidiano es un dominio de integridad que admite el algoritmo de la división con resto.
  1. Definición. Se llama dominio euclídeo o euclidiano a un dominio de integridad $A$ en el que hay definida una aplicación $\varphi:A\setminus \{0\}\to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ (llamada norma euclidiana ) cumpliendo las condiciones:
    (i) Si $a, b \in A \setminus \{0\}$ y $b\mid a$, entonces $\varphi (b)\le \varphi (a)$
    (ii) Si $a,b\in A$ con $b\ne0$, existen $q,r\in A$ tales que $$a=bq+r \text{ con } r=0 \text{ o } \varphi (r)<\varphi (b) \text{ si } r\ne 0.$$
  2. Ejemplo. Demostrar que para $\mathbb{K}$ cuerpo, $\mathbb{K}[x]$ es dominio euclidiano.
    Solución. Efectivamente, $\mathbb{K}[x]$ es dominio de integridad y la aplicación $\varphi:\mathbb{K}[x]\setminus \{0\}$ dada por $\varphi (p)=\text{gr }p$ (grado de $p$) satisface las condiciones de la definición según el conocido teorema sobre la división euclídea de polinomios.
  3. Ejemplo. Demostrar que $\mathbb{Z}$ es dominio euclidiano con $\varphi: \mathbb{Z}\setminus\{0\}\to\mathbb{Z}_{\ge 0}$, $\varphi (x)=\lvert x\rvert$ (valor absoluto de $x$).
    Solución. Sabemos que $\mathbb{Z}$ es dominio de integridad. Si $a,b$ son enteros no nulos con $b\mid a$ entonces, $a=bc$ con $c$ entero no nulo, por tanto $$\varphi(a)=\varphi (bc)=\lvert bc \rvert=\lvert b \rvert\lvert c \rvert \underset{(\lvert c\rvert\ge 1)}{\ge} \lvert b \rvert=\varphi (b).$$ Sean ahora $a,b$ enteros con $b\ne 0$ y consideremos el subconjunto $X$ de $\mathbb{Z}$ $$X=\{a-xb:x\in\mathbb{Z}\}.$$ Es claro que $X$ tiene elementos no negativos. Sea $r=a-qb$ el elemento mínimo no negativo de $X.$ Veamos que $r= |r| < |b|$. En efecto, supongamos que fuera $r\ge |b|.$ Si $b>0$ entonces $r=a-qb\ge b$ luego
    $$0\le a-qb-b=a-(q+1)b < r$$ lo cual contradice la elección de $r.$ Si $b<0$ entonces $r=a-qb\ge -b$ luego $$0\le a-qb+b=a-(q-1)b < r$$ lo cual también contradice la elección de $r.$
  4. Nota. Los elementos $q,r$ de la definición de dominio euclidiano no son necesariamente únicos, por ejemplo en $\mathbb{Z}$ y para $a=19, b=5$:$$19 = 5\cdot 3 + 4 \text{ con }|4|<|5|,\quad 19 = 5\cdot 4 – 1\text{ con } |-1|<|5|.
    $$
  5. Ejemplo. Sea $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a\in\mathbb{Z},b\in\mathbb{Z}\}$ con las operaciones usuales de suma y producto de complejos.
    (i) Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario (se llama anillo de los enteros de Gauss).
    (ii) Demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es dominio euclidiano con la norma $\varphi(z)=|z|^2$.
    Solución.
    (i) Como $\mathbb{Z}[i]\subset \mathbb{C}$ y $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es anillo con las operaciones usuales $+$ y $\cdot$, bastará demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ es subanillo de $\mathbb{C}$. Usamos el conocido teorema de caracterización de subanillos:
    (a) $\mathbb{Z}[i]\neq \emptyset$. Esto es evidente, pues por ejemplo $0+0i\in\mathbb{Z}[i]$.
    (b) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$$ Dado que $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $a-c$ y $b-d$ lo cual implica que la diferencia anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i].$
    (c) Para cada par de elementos $a+bi$ y $c+di$ de $\mathbb{Z}[i]:$ $$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$ Como $a,b,c,d$ son enteros, también lo son $ac-bd$ y $ad+bc$ lo cual implica que el producto anterior pertenece a $\mathbb{Z}[i]$. Hemos demostrado pues que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo con las operaciones usuales suma y producto de complejos. Dado que $\mathbb{C}$ es conmutativo, también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Por otra parte $1=1+0i\in\mathbb{Z}[i]$. Concluimos que $\mathbb{Z}[i]$ es anillo conmutativo y unitario.
    (ii) El anillo $(\mathbb{C},+,\cdot)$ es dominio de integridad, en consecuencia también lo es $\mathbb{Z}[i]$. Veamos que la aplicación $\varphi : \mathbb{Z}[i]\setminus\{0\}\to \mathbb{N},\;\varphi (z)=\left|z\right|^2$ cumple las condiciones para que $\mathbb{Z}[i]$ sea anillo euclidiano.
    (a) Sean $z,w\in \mathbb{Z}[i]\setminus \{0\}$ tales que $z\mid w$, entonces, existe $z_1\in \mathbb{Z}[i]\setminus \{0\}$ tal que $w=zz_1$. Por tanto $$\varphi (z)=\left|z\right|^2\leq \left|z\right|^2\left|z_1\right|^2=\left|w\right|^2=\varphi (w)\Rightarrow \varphi (z)\leq \varphi (w). $$ (b) Sean $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$, entonces $x/y=u+iv$ con $u,v\in \mathbb{Q}$. Si $u$ y $v$ son enteros, $y\mid x$ y estamos en el caso (a). Supongamos pues que $u,v$ no son ambos enteros. Elijamos $m,n\in\mathbb{Z}$ tales que $\left|m-u\right|\leq 1/2$ y $\left|n-v\right|\leq 1/2$ y llamemos $q=m+ni$ y $r=x-cy$. Entonces:
    $$ r=y(u+iv)-y(m+ni)=y[(u-m)+(v-n)i]$$ $$\Rightarrow \varphi (r)=\left|y\right|^2[(u-m)^2+(v-n)^2]$$ $$\leq \left|y\right|^2(1/4+1/4)=\left|y\right|^2/2< \left|y\right|^2 =\varphi (y).$$ Es decir, dados $x,y\in\mathbb{Z}[i]$ con $y\neq 0$ existen $q,r\in \mathbb{Z}[i]$ tales que $x=yq+r$ con $\varphi(r)<\varphi (y)$. Concluimos que $\mathbb{Z}[i]$ es un dominio euclidiano.
  6. Teorema. Sea $A$ un dominio euclidiano con norma $\varphi.$ Entonces,
    (1) Si $u$ es unidad de $A$, $\varphi (u)$ es el valor mínimo de $\varphi.$
    (2) Si $a,b\in A\setminus \{0\}$ son asociados, entonces $\varphi (a)=\varphi (b).$
    (3) Si $a,b\in A\setminus \{0\}$, $b\mid a$ y $\varphi (a)=\varphi (b)$, entonces $a$ y $b$ son asociados.
    (4) Un elemento $a\in A\setminus \{0\}$ es una unidad si y sólo si $\varphi (a)=\varphi (1)$.
    Solución.
    (1) Si $u$ es unidad de $A$, existe $v\in A$ tal que $uv=1.$ Para todo $0\ne x\in A$ tenemos $x=1x=uvx=(vx)u$, es decir $u\mid x$ luego $\varphi (u)\le \varphi (x).$
    (2) Existe unidad $u$ tal que $b=au$. Si $uv=1$, entonces $a=bv.$ Esto implica que $a\mid b$ y $b\mid a$ con lo cual $\varphi (a)\le \varphi (b)$ y $\varphi (b)\le \varphi (a).$
    (3) Dividimos $b$ por $a$. Tenemos $b=aq+r.$ Si $r\ne 0$ entonces $\varphi (r) < \varphi (a).$ Como $b\mid a$ existe $b^\prime \in A$ tal que $a=bb^\prime.$ Por tanto $r=b-aq=b-bb^\prime q=(1-b^\prime q)b$. Esto implica que $\varphi(b)\le \varphi (r)$ lo cual contradice la hipótesis $\varphi (a)=\varphi (b).$ Es decir, $r=0$
    Se verifica pues $b\mid a$ y $a\mid b$, luego existen $u,v$ elementos de $A$ tales que $a=bu$ y $b=av$. Entonces, $$b=buv\Rightarrow b-buv=0\Rightarrow b(1-uv)=0\Rightarrow 1-uv=0\Rightarrow uv=1.$$ Al ser $u,v$ unidades, $a$ y $b$ son asociados.
    (4) Si $a$ es unidad en $A$, entonces existe $u\in A$ con $au=1$. Entonces, $u$ tambièn es unidad con lo cual $a$ y $1$ son asociados. Por el apartado (2), $\varphi (a)=\varphi (1)$. Recíprocamente, sea $\varphi (a)=\varphi (1)$. Como $1\mid a$, por el apartado (3) se deduce que $1$ y $a$ son asociados, es decir $a=1u=u$ con $u$ unidad.
  7. Teorema. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales principales.
    Demostración. Sea $A$ un dominio euclidiano y sea $I$ un ideal de $A.$ Vamos a demostrar que $I$ es principal. Si $I=(0)$ no hay nada que demostrar. Si $I\ne (0)$, sea $0\ne x\in I$ tal que la norma $\varphi (x)$ es mínima. Se verifica $(x)\subset I.$ Por otra parte, $I\subset (x).$ En efecto, si existiera $y\in I$ tal que $y\notin (x)$ entonces $y$ no se podría escribir en la forma $qx$ para algún $q\in A.$ Existen por tanto $q,r\in A$ tales que
    $$y=qx+r,\; r\ne 0\text{ y }\varphi (r) < \varphi (x).$$ Pero $r=y-qx\in I$ lo cual contradice la elección de $x.$
  8. Corolario. Todo dominio euclidiano es un dominio de factorización única.
    Demostración. Se deduce del hecho de que todo dominio ideales principales es un dominio de factorización única.
  9. Nota. El recíproco del teorema anterior no es cierto. Se puede demostrar que $\mathbb{Z}[\theta]$ con $\theta:=(1+\sqrt{-19})/2.$ es dominio de ideales principales y que no existe norma euclidiana en $\mathbb{Z}[\theta]$.
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