Archivo del Autor: Fernando Revilla

$R$ como subanillo de $\widehat{R}$

RESUMEN. Demostramos que $R$ se puede considerar como un subanillo de $\widehat{R}$. Teorema. Sea $R$ anillo unitario y $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ el anillo cociente de las sucesiones de Cauchy de $R$ sobre el ideal $I$ de las sucesiones nulas de $R$. Sea … Sigue leyendo

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Norma en el anillo cociente $\widehat{R}$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas

RESUMEN. Construimos una norma en el anillo cociente $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ de las sucesiones de Cauchy sobre el ideal de las nulas. Lema. Sea $R$ anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|.$ Se verifica $$\left|\left\|a\right\|- \left\|b\right\|\right |\le \left\|a-b\right\|,\quad \forall a,b\in R.$$ Es decir, el … Sigue leyendo

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Ideal de las sucesiones nulas en el anillo de las sucesiones de Cauchy

RESUMEN. Demostramos que las sucesiones nulas forman un ideal $I$ en el anillo de las sucesiones de Cauchy $\mathcal{C}$ sobre un anillo unitario $R$, lo cual definirá el anillo cociente $\mathcal{C}/I$. Teorema. Sea $R$ un anillo unitario con una norma … Sigue leyendo

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Anillo de las sucesiones de Cauchy en un anillo normado

RESUMEN. Demostramos que en todo anillo normado $R$ se puede construir una estructura de anillo en el conjunto de sus sucesiones de Cauchy. Teorema. Sea $R$ un anillo unitario con norma $\left\|\;\right\|$ y $d(x,y)=\left\|x-y\right\|$ la distancia inducida por ella. Sea … Sigue leyendo

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Una sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica

RESUMEN. Proporcionamos un ejemplo de sucesión de Cauchy con la distancia $p$-ádica. EJEMPLO Veamos que en $R=\mathbb{Q}$ con la norma $p$-adica la sucesión $$x_n=1+p+p^2+\cdots +p^{n-1}$$ es de Cauchy. Tenemos $$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=\left\|p^n+p^{n+1}+\cdots+p^{n+k-1}\right\|_p$$ $$=\left\|p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right\|_p.$$ Ahora bien, $\text{ord}_{p} \left[p^n\left(1+p+p^2\cdots+p^{k-1}\right)\right]=n$ y por tanto $$\left\|x_{n+k}-x_n\right\|_p=p^{-n} 1/\epsilon$, … Sigue leyendo

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