Archivo del Autor: Fernando Revilla

Orden en el conjunto de los cardinales

Definimos una relación de orden en el conjunto de los cardinales Definición. Sea $\mathscr C$ la clase de todos los conjuntos. Sabemos que la relación en $\mathscr C,$ $A\sim B\Leftrightarrow$ existe una aplicación biyectiva de $A$ en $B,$ es de … Sigue leyendo

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Teorema de Cantor-Bernstein

Demostramos el teorema de Teorema de Cantor-Bernstein. Teorema (Cantor-Bernstein). Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que existen aplicaciones inyectivas $f:A\to B$ y $g:B\to A.$ Entonces, existe una biyección entre $A$ y $B.$ Demostración. Sea $b_1\in B.$ Vamos a construir … Sigue leyendo

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Teorema de Cantor

Demostramos el teorema de Cantor. Teorema (Cantor). Si $A$ es un conjunto, entonces el conjunto $\mathcal{P}(A)$ de las partes de $A$ tiene cardinalidad mayor que $A.$ Demostración. La aplicación $f:A\to \mathcal{P}(A)$ dada por $f(a)=\{a\}$ es inyectiva y por tanto, $|A| … Sigue leyendo

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Potencia del continuo

Definimos el concepto de potencia del continuo y estudiamos alguna de sus propiedades. Teorema. El intervalo $[0,1]$ no es numerable. Demostración. Por reducción al absurdo. Si $[0,1]$ es numerable, podemos escribir $[0,1]=\{x_1,x_2,x_3,\ldots\}.$ Consideremos los tres subintervalos de $[0,1]:$ $[0,1/3],$ $[1/3,2/3],$ … Sigue leyendo

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Conjuntos numerables y contables

Definimos los conceptos de conjunto numerable y contable y estudiamos alguna de sus propiedades. Definición. Sea $\mathbf{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los números naturales. Un conjunto $X$ se dice que es numerable o que tiene cardinalidad $\aleph_0$, si $X$ es equivalente … Sigue leyendo

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