Archivo de la categoría: Álgebra

Matriz equivalente en forma canónica

Hallamos una matriz equivalente y en forma canónica a una dada. Enunciado Se considera la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ cuya matriz con respecto de las bases canónicas de $\mathbb{R}^4$ y $\mathbb{R}^3$ es: $$A=\begin{bmatrix}{-1}&{\;\;2}&{\;\;0}&{1}\\{\;\;2}&{-4}&{-1}&{1}\\{\;\:3}&{-6}&{-2}&{3}\end{bmatrix}$$ Determinar unas bases $B$ y $B’$ de $\mathbb{R}^4$ … Sigue leyendo

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Caracterizaciones de cuerpos

Proporcionamos dos caracterizaciones para que un anillo conmutativo, unitario y no nulo sea un cuerpo. Enunciado Sea $A$ un anillo conmutativo, unitario y no nulo. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes. $(1)$ $A$ es un cuerpo. $(2)$ Los únicos … Sigue leyendo

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$\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en $\mathbb{Z}[x]$

Demostramos que $\langle 2, x \rangle$ no es ideal principal en el anillo $\mathbb{Z}[x]$. Enunciado Demostrar que el ideal de $\mathbb{Z}[x]$ dado por $I=\langle 2,x \rangle$ no es principal. Solución Por definición, $$I=\langle 2,x \rangle=\{f(x)\in \mathbb{Z}[x]:f(x)=g(x)x+2h(x)\text{ con }g(x),h(x)\in\mathbb{Z}[x]\}.$$ El término … Sigue leyendo

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Teorema de la buena ordenación de Zermelo

Demostramos el teorema de la buena ordenación de Zermelo es decir, en todo conjunto no vacío se puede definir un buen orden. Enunciado Sea $E$ un conjunto no vacío. (a) Demostrar que en todo subconjunto finito de $E$ se puede … Sigue leyendo

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Espacio vectorial como suma directa de dos núcleos

Descomponemos un espacio vectorial como suma directa de dos núcleos. Enunciado Sea $T\in \text{End}_{\mathbb{K}}(E)$ y $f,g,h\in\mathbb{K}[t]$ tales que $$f(t)=g(t)h(t),\quad f(T)=0,\quad g,h\text{ primos entre sí.}$$ Demostrar que $E=\ker g(T)\oplus \ker h(T).$ Solución Al ser $g$ y $h$ son primos entre sí, … Sigue leyendo

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