Archivo de la categoría: Álgebra

Un cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos

Proporcionamos un ejemplo de cuerpo de matrices isomorfo al de los complejos. Enunciado Demostrar que el conjunto $\mathcal{A}=\{A_{(x,y)}=\begin{bmatrix}{\;\;x}&{y}\\{-y}&{x}\end{bmatrix}:x,y\in \mathbb{R}\}$ es un cuerpo con las operaciones suma y producto habituales de matrices. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{C}\to\mathcal{A}$ dada por $f(x+iy)=A_{(x,y)}$ es … Sigue leyendo

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Extensión finita y algebraica

Definimos los conceptos de extensión finita y algebraica y demostramos que toda extensión finita es algebraica. También proporcionamos un contraejemplo que prueba que el recíproco es falso. EnunciadoSea $K/k$ una extensión de cuerpos. Se dice que $K$ es extensión finita … Sigue leyendo

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Los grupos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos

Demostramos que los grupos multiplicativos de los reales y los complejos no son isomorfos. Enunciado Demostrar que los grupos multiplicativos $\mathbb{R}^\times$ y $\mathbb{C}^\times$ no son isomorfos. Solución Supongamos que existe un isomorfismo $f:\mathbb{C}^\times\to \mathbb{R}^\times.$ Tenemos $f(i^2)=f(-1).$ Ahora bien, $$1=f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)f(-1)=f(-1)^2\Rightarrow f(-1)=\pm … Sigue leyendo

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Isometrías en $\mathbb{R}^n$

Demostramos que todas las isometrías de $\mathbb{R}^n$ son exactamente las aplicaciones de la forma $ f(x)=Ax+b$ con $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ ortogonal y $b\in\mathbb{R}^n$ fijo. EnunciadoLos elementos de $\mathbb{R}^n$ los escribimos en columna y a sus componentes las designamos por la misma … Sigue leyendo

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Isometrías en el plano

Describimos todas las isometrías del plano usando operaciones algebraicas con números complejos y posteriormente trasladamos sus propiedades al lenguaje matricial sin salirnos del cuerpo base $\mathbb{R}$.

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