Archivo de la categoría: Álgebra

Isomorfismo entre el grupo multiplicativo complejo y un producto directo

Demostramos que el grupo multiplicativo de los números complejos $\mathbb{C}^\ast$ es isomorfo al producto directo $\mathbb{ R }_{> 0} \times \mathbb R/\mathbb Z$. Enunciado Sean $\mathbb{ C }^{ \ast }$ el grupo multiplicativo de los números complejos, $\mathbb{ R }_{> … Sigue leyendo

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Cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos

Estudiamos el concepto de cuerpo fijo asociado a un subgrupo de automorfismos. Teorema. Sea $K$ un cuerpo y $H$ un subconjunto de $\text{Aut}\left(K\right).$ Entonces, el conjunto formado por los elementos de $K$ que quedan invariantes por todos los elementos de … Sigue leyendo

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Permutación de raíces y automorfismos de cuerpos

Demostramos un teorema de permutación de raíces relativo a una extensión de cuerpos y damos dos ejemplos de aplicación al cálculo de los automorfismos de cuerpos. Teorema. Sea $K/k$ una extensión de cuerpos y $\alpha\in K$ algebraico sobre $k.$ Entonces, … Sigue leyendo

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Matrices idempotentes de orden 2 sobre un cuerpo

Determinamos todas las matrices idempotentes de orden $2$ sobre cualquier cuerpo. Enunciado Para cualquier cuerpo $\mathbb{K}$, determinar todas las matrices idempotentes de $\mathbb{K}^{2\times 2}.$ Solución Sabemos que todo endomorfismo idempotente $f:E\to E$ en un espacio vectorial de dimensión finita $E$ … Sigue leyendo

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Descomposición de un conjunto algebraico en unión de irreducibles

Demostramos que todo conjunto algebraico es unión de conjuntos algebraicos irreducibles. Lema. Sea $A$ un anillo noetheriano y $\mathscr{S}$ una colección no vacía de ideales de $A.$ Entonces, $\mathscr{S}$ tiene un elemento maximal, es decir existe un ideal $I$ de … Sigue leyendo

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