Archivo de la categoría: Cálculo/Análisis

Formas diferenciales de grado 1

Ejemplo. Consideremos la expresión $$\omega=\left(3x+y^2+z \right)dx+\left(\log \left(x^2+y^2+z^2\right)\right)dy+\left(xyz\right)dz.$$ Las tres funciones $P,Q,R$ dadas por $$P(x,y,z)=3x+y^2+z,\; Q(x,y,z)=\log \left(x^2+y^2+z^2\right),\; R(x,y,z)=xyz,$$ están definidas en el abierto de $\mathbb{R}^3$, $U=\mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\}$. Fijando un punto $M=(x,y,z)$ de $U$ obtenemos la forma lineal o elemento de $\left(\mathbb{R}^3\right)^*$: $$\begin{aligned}& … Sigue leyendo

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Desigualdad de Jensen

Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Enunciado El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos: Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con … Sigue leyendo

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Teorema del valor medio escalar

Proporcionamos la demostración del teorema del valor medio escalar, un ejemplo y la impostibilidad de extenderlo a campos no escalares. Teorema (del valor medio escalar). Sea $E$ un espacio nornado, $A\subset E$ abierto y $f:A\to \mathbb{R}$ diferenciable. Sean $a,b\in A$ … Sigue leyendo

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Teorema de reordenación de Riemann

Demostramos el teorema de Riemann de la reordenación de series: dada una serie real condicionalmente convergente y dado $x\in [-\infty,+\infty]$, existe una reordenación de la serie cuya suma es $x$. Enunciado Por simplicidad, denotaremos $\sum a_n=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$. Demostrar que si la … Sigue leyendo

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Álgebras uniformemente densas: teorema de Stone-Weierstrass

Aplicamos el teorema de Stone-Weierstrass para encontrar álgebras uniformemente densas. Enunciado Sea $X$ un espacio topológico compacto y $C(X)$ el espacio vectorial de las funciones reales continuas $f:X\to \mathbb{R}$ con la norma de la convergencia uniforme $$\left\|{f}\right\|_\infty=\max \left\{\left |f(x)\right|:x\in X\right\}.$$ … Sigue leyendo

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