Archivo de la categoría: Cálculo/Análisis

Espacios $l_p$

Definimos los espacios $l_p$ y estudiamos algunas de sus propiedades. EnunciadoDesignamos por $\mathbb{K}$ al cuerpo de los números reales o complejos indistintamente. Sabemos que en el espacio vectorial $\mathbb{K}^n$ y para todo $p\in [1,+\infty)$ se definen la normas $$ \left\|x\right\|_{p}=\left(\sum_{k=1}^n\left|x_k\right|^p\right)^{1/p},\forall … Sigue leyendo

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Polinomios de Bernstein

Definimos los polinomios de Bernstein asociados a una función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ y demostramos que forman una sucesión que converge uniformemente a $f$. EnunciadoEl teorema de Weierstrass asegura que toda función continua $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ puede ser aproximada uniformemente por polinomios. … Sigue leyendo

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Formas diferenciales de grado 1

Ejemplo. Consideremos la expresión $$\omega=\left(3x+y^2+z \right)dx+\left(\log \left(x^2+y^2+z^2\right)\right)dy+\left(xyz\right)dz.$$ Las tres funciones $P,Q,R$ dadas por $$P(x,y,z)=3x+y^2+z,\; Q(x,y,z)=\log \left(x^2+y^2+z^2\right),\; R(x,y,z)=xyz,$$ están definidas en el abierto de $\mathbb{R}^3$, $U=\mathbb{R}^3-\{(0,0,0)\}$. Fijando un punto $M=(x,y,z)$ de $U$ obtenemos la forma lineal o elemento de $\left(\mathbb{R}^3\right)^*$: $$\begin{aligned}& … Sigue leyendo

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Desigualdad de Jensen

Usamos la desigualdad de Jensen para demostrar que la media geométrica es menor o igual que la aritmética. Enunciado El teorema de la desigualdad de Jensen, se expresa en los siguientes términos: Sea $(\Omega, \mathscr{M},\mu)$ un espacio de medida con … Sigue leyendo

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Teorema del valor medio escalar

Proporcionamos la demostración del teorema del valor medio escalar, un ejemplo y la impostibilidad de extenderlo a campos no escalares. Teorema (del valor medio escalar). Sea $E$ un espacio nornado, $A\subset E$ abierto y $f:A\to \mathbb{R}$ diferenciable. Sean $a,b\in A$ … Sigue leyendo

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