Archivo de la categoría: Cálculo/Análisis

Fórmula de Stirling: demostración

Proporcionamos una demostración de la fórmula de aproximación de Stirling $n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ para $n\to +\infty.$ Enunciado Se consideran las sucesiones $$a_n=\dfrac{n!}{\sqrt{2n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n},\quad b_n=\log a_n.$$ Demostrar que $b_n-b_{n+1}=\dfrac{1}{2}(2n+1)\log \dfrac{n+1}{n}-1$. Usar los desarrollos en series de Maclaurin de las funciones $\log (1+x)$ … Sigue leyendo

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Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni

Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n … Sigue leyendo

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Espacio prehilbertiano de las sucesiones finitamente no nulas

Demostramos que el espacio de las sucesiones complejas finitamente no nulas, es espacio prehilbertiano pero no de Hilbert. Enunciado (a) Sea $P$ el espacio vectorial complejo de las sucesiones complejas $x=(x_n)$ finitamente no nulas, (es decir con sólo un número … Sigue leyendo

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Desigualdad de Schwarz y norma en los espacios prehilbertianos

Demostramos la desigualdad de Schwarz en espacios prehilbertianos y las propiedades de la norma. Enunciado Sea $P$ un espacio prehilbertiano, es decir un espacio vectorial complejo con producto escalar. Para todo $x\in P$ se define la norma (o longitud) de … Sigue leyendo

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Rango de una función definida en $[0,1]$

Determinamos el rango de una función definida en $[0,1]$ Enunciado Determinar el rango de la función $\;f:[0,1]\to \mathbb{R},\;\displaystyle f(x) = \frac{(1+x)^{0.6}}{1+x^{0.6}}.$ Solución La función es elemental y está definida en $[0,1]$, en consecuencia es continua. Analicemos su comportamiento en términos … Sigue leyendo

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