Archivo de la categoría: Miscelánea matemática

Topología final

Definimos la topología final y estudiamos propiedades de la misma. EnunciadoSea $f_i:(X,T_i)\to Y,i\in I$ una familia de aplicaciones de los espacios topológicos $(X_i,T_i)$ en el conjunto $Y$. Demostrar que $T_F=\{V\subset Y:f_i^{-1}(V)\in T_i\;\;\forall i\in T_i\}$ es una topología en $Y$. A … Sigue leyendo

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Primera forma fundamental de una superficie

Definimos la primera forma fundamental de una superficie y estudiamos alguna de sus propiedades. Enunciado Sea $U$ un abierto de $\mathbb{R}^2$ y $S$ una superficie en $\mathbb{R}^3$ definida mediante $$\mathbf{x}:U\to \mathbb{R}^2,\quad \mathbf{x}=\mathbf{x}(u,v)=\left(x_1(u,v),\;x_2(u,v),\;x_3(u,v)\right)$$ con $\mathbf{x}\in C^1(U)$ y $$\text{rango }\begin{bmatrix}{\dfrac{\partial x_1}{\partial u}} … Sigue leyendo

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Ecuación diofántica lineal en dos incógnitas

Estudiamos la compatibilidad de la ecuación diofántica lineal en dos incógnitas y proporcionamos la manera de hallar su solución general. EnunciadoUna ecuación diofántica lineal en dos incógnitas es una ecuación de la $$ax+by=c,\quad (a,b,c\in\mathbb{Z},a\ne 0,b\ne 0).\qquad (E)$$ Se llama solución … Sigue leyendo

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Probabilidad de la unión de $n$ sucesos

Demostramos una fórmula para hallar la probabilidad de la unión de $n$ sucesos. EnunciadoSea $(E,\Omega,p)$ un espacio de probabilidad. Se trata de demostrar la fórmula: $$p\left(A_1\cup \ldots \cup A_n\right)=\sum_{i=1} ^np\left(A_i\right)-\sum_{i,j=1,\;i < j} ^np\left(A_i\cap A_j\right)+$$ $$ \sum_{i,j,k=1,\;i < j < k} … Sigue leyendo

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Completación de todo espacio métrico

Demostramos que todo espacio métrico tiene una completación y que es única salvo isometrías. Enunciado Sea $X$ un espacio métrico. Se dice que el espacio métrico $X^*$ es una completacion de $X$ si $X^*$ es completo y $X$ es isométrico … Sigue leyendo

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