Archivo de la categoría: Teoría p-ádica

Sucesiones eventualmente constantes con normas no arquimedianas

Demostramos una condición suficiente para la cual ciertas sucesiones en norma son eventualmente constante en un anillo unitario con norma no arquimediana. Enunciado Sea $R$ anillo unitario con una norma no arquimediana $\left\|\;\right\|$. Sea $(a_n)$ una sucesión de Cauchy en … Sigue leyendo

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Conservación de normas no arquimediadas por completación

Demostramos el principio de conservación de normas no arquimediadas por completación: si $\left\|\;\right\|_R$ es no arquimediana en el anillo $R$, también $\left\|\;\right\|_{\widehat{R}}$ es no arquimediana en el anillo $\widehat{R}$. Enunciado 1) Sean $(a_n)$ y $(b_n)$ dos sucesiones convergentes de números … Sigue leyendo

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Cuerpo $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y subanillo $\mathbb{Z}_p$

Definimos el conjunto $\mathbb{Q}_p$ de los números $p$-ádicos y el conjunto de los enteros $p$-ádicos $\mathbb{Z}_p$. Demostramos que $\mathbb{Z}_p$ es subanillo de $\mathbb{Q}_p$. Enunciado Sea $\mathbb{Q}$ el anillo de los números racionales con la norma $p$-ádica $\left\|\;\right\|_p$ y sea $\mathbb{Q}_p:=\widehat{\mathbb{Q}}$. … Sigue leyendo

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Completación de todo anillo normado

Demostramos que para todo anillo normado $R$, el anillo $\widehat{R}$ es una completación de $R$. Es decir, toda sucesión de Cauchy en $\widehat{R}$ es convergente y además $R$ es denso en $\widehat{R}$. Si $R$ es cuerpo, también también $\widehat{R}$ es … Sigue leyendo

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$R$ como subanillo de $\widehat{R}$

Demostramos que $R$ se puede considerar como un subanillo de $\widehat{R}$. Enunciado Sea $R$ anillo unitario y $\widehat{R}=\mathcal{C}/I$ el anillo cociente de las sucesiones de Cauchy de $R$ sobre el ideal $I$ de las sucesiones nulas de $R$. Sea la … Sigue leyendo

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