Aplicaciones lineales continuas entre espacios normados

Estudiamos las aplicaciones lineales continuas entre espacios normados.

Enunciado
1.  Sean $E$ y $F$ espacios normados y  $f:E\to F$ lineal. Demostrar que si $f$ es continua en un puntto $a\in E,$ entonces es uniformemente continua en $E.$

2.  Sean $E$ y $F$ espacios normados y  $T:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que $$T\text{ es continua}\Leftrightarrow T\text{ está acotada en }B(0,1).$$ 3.  Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal entre los espacios normados $E$ y $F.$ Demostrar que  $T$ no está acotada en todo $E$ salvo si $T=0.$

4.  Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal entre los espacios normados $E$ y $F.$ Demostrar que: $T$ es continua $\Leftrightarrow$ $T$ es acotada en cada $A\subset E$ acotado.

5.   Sea $T:E\to F$ una aplicación lineal entre los espacios normados $E$ y $F.$ Demostrar que: $T$ es continua $\Leftrightarrow$ existe $K>0$ real tal que $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|$ para todo $x\in E$

Solución
1.  Si $f$ es continua en $a,$ para todo $\epsilon >0$ existe $\delta>0$ tal que $\left\|f(x)-f(a)\right\|<\epsilon$ si $\left\|x-a\right\|<\delta.$ Sean ahora cualquier par de puntos $x,y\in E$ con $\left\|x-y\right\|<\delta.$ Entonces $$\left\|x-y\right\|=\left\|(x-y+a)-a\right\|<\delta\Rightarrow \left\|f(x-y+a)-f(a)\right\|<\epsilon$$ $$\Rightarrow \left\|f(x)-f(y)\right\|=\left\|f(x)-f(y)-f(a)+f(a)\right\|$$ $$\underbrace{=}_{f\text{ lineal}}\left\|f(x-y+a)-f(a)\right\|<\epsilon.$$ Nota. Esto implica que las aplicaciones lineales entre espacios normados tienen un comportamiento extremo con respecto a la continuidad: o son uniformemente continuas en todo el espacio inicial, o bien no son continuas en ningún punto.

2.  $\Rightarrow )$ Como $T$ es continua en $E,$ es continua en $0,$ luego existe $\delta>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|<1$ si $\left\|x\right\|<\delta.$ Tenemos
$$x\in B(0,1)\Rightarrow \left\|\delta x\right\|=\delta \left\|x\right\|<\delta\cdot 1=\delta \Rightarrow \left\|T(\delta x)\right\|<1$$ $$\Rightarrow \delta \left\|T(x)\right\|<1\Rightarrow \left\|T(x)\right\|<\frac{1}{\delta}\Rightarrow T\text{ está acotada en }B(0,1).$$ $\Leftarrow )$ Como $T$ está acotada en $B(0,1),$ existe $K>0$ tal que $ \left\|T(x)\right\|<1$ si $ \left\|x\right\|<1.$ Veamos que $T$ es continua en $0$ (y por tanto, será continua en todo $E$). Sea $\epsilon>0$ y elijamos $\delta=\epsilon/K.$ Entonces, $$ \left\|x\right\|<\delta\Rightarrow  \left\|\frac{1}{\delta}x\right\|=\frac{1}{\delta} \left\|x\right\|<1\Rightarrow  \left\|T\left(\frac{1}{\delta}x\right)\right\|<K$$ $$\Rightarrow  \left\|T(x)\right\|<K\delta=\epsilon\Rightarrow T\text{ es continua en }0.$$3.  Si $T\neq 0,$ existe $x\in E$ tal que $T(x)\ne 0.$ Entonces, $\left\|T(\lambda x)\right\|=\left|\lambda\right|\left\|T( x)\right\|.$ Como $\left\|T( x)\right\|\ne 0$ se verifica $\left\|T( x)\right\|\to +\infty$ cuando $\left|\lambda\right|\to +\infty,$ luego $T$ no está acotada en $E.$ Por otra parte, si $T=0$ es claro que está acotada en $E.$

4.  $\Leftarrow )$ Si $T$ es acotada en cada $A\subset E$ acotado, en particular está acotada en el conjunto acotado $B(0,1),$ luego $T$ es continua como consecuencia del segundo apartado.

$\Rightarrow )$ Si $T$ es continua, $T$ está acotada en $B(0,1),$ es decir existe $K>0$ tal que $\left\|T(x)\right\|<K$ si $\left\|x\right\|<1.$ Si $A\subset E$ está acotado, está contenido en una bola $B(0,r)$ con $r>0.$ Entonces, $$x\in A\Rightarrow \left\|x\right\|<r\Rightarrow \left\|\frac{1}{r}x\right\|<1\Rightarrow \left\|T\left(\frac{1}{r}x\right)\right\|<K$$ $$\Rightarrow \frac{1}{r}\left\|T(x)\right\|<K\Rightarrow \left\|T(x)\right\|<rK\Rightarrow T\text{ está acotada en }A.$$ 5.  $\Rightarrow)$ La bola cerrada $\overline{B}(0,1)$ está acotada. Por ser $T$ continua, $T$ está acotada en $\overline{B}(0,1)$ (apartado anterior). Es decir, existe $K>0$ real tal que $\left\|T(x)\right\|\le K$ si $\left\|x\right\|\le 1.$ Entonces, $\forall x\in E\;(x\ne 0):$
$$\left\|\frac{1}{\left\|x\right\|}x\right\|=1\Rightarrow T\left(\frac{1}{\left\|x\right\|}x\right)\le K\Rightarrow \frac{1}{\left\|x\right\|}T(x)\le K\Rightarrow \left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|,$$ y para $x=0$ la última desigualdad se verifica trivialmente.

$\Leftarrow)$ Si $\left\|x\right\|<1$ se verifica $\left\|T(x)\right\|\le K\left\|x\right\|<K,$ es decir $T$ está acotada en $B(0,1)$ lo cual implica que $T$ es continua (por el apartado 2).