Conjunto cerrado como intersección contable de abiertos

RESUMEN. Demostramos que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos.

Enunciado
Demostrar que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos.

Solución
Sea $(X,d)$ un espacio métrico y $A\subset X$ cerrado. Para todo $n\in \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$ definimos $$G_n=\bigcup _{a\in A} B\left(a,\frac{1}{n}\right).$$ $G_n$ es abierto por ser unión de bolas abiertas. Demostremos ahora que $$A=\bigcap _{n\in \mathbb N} G_n.$$ Con lo cual estará demostrada la propiedad. Es evidente que $A \subset \bigcap _{n\in \mathbb N} G_n.$ Demostremos ahora que $\bigcap _{n\in \mathbb N} G_n\subset A$ demostrando que $$x\notin A\Rightarrow x\notin \bigcap _{n\in \mathbb N} G_n.$$ En efecto, si $x\notin A$ al ser $A$ cerrado, $A^c$ es abierto con lo cual existe $n_0\in\mathbb N$ tal que $B(x,1/n_0)\subset A^c$ y por tanto $B(x,1/n_0)\cap A=\emptyset.$ Es decir, para todo $a\in A$ tenemos $a\notin B(x,1/n_0)$ con lo cual para todo $a\in A:$ $$x\notin B\left(a,\frac{1}{n_0}\right) \Rightarrow x\notin \bigcup_{a\in A} B\left(a,\frac{1}{n_0}\right) \Rightarrow x\notin G_{n_0} \Rightarrow x\notin \bigcap_{n\in \mathbb N} G_n.$$ Concluimos que en todo espacio métrico, cualquier conjunto cerrado se puede expresar como intersección contable de abiertos.