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El conjunto de los números algebraicos es contable

Demostramos que el conjunto de los números algebraicos es contable. Trabajamos en la extensión de cuerpos $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$ Teorema. El conjunto de los números algebraicos es contable. Demostración. El conjunto $A$ de los números algebraicos se puede expresar en la forma: … Sigue leyendo

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Números armónicos y constante de Euler-Mascheroni

Demostramos propiedades de los números armónicos y definimos la constante de Euler-Mascheroni Enunciado Se define el $n$-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales. Se le denota por $H_n$, es decir $$H_n= \sum_{k=1}^n … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (2)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Resolver la ecuación en $\mathbb{C}:\;$ $z^4+2z^3+4z^2+8z+16=0.$ Para $a,b$ números reales, calcular las sumas $$R=\cos a+\cos (a+b)+\cos (a+2b)+\cdots+\cos \left(a+(n-1)b\right),$$ $$I=\operatorname{sen}a+\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a+2b)+\cdots+\operatorname{sen}\left(a+(n-1)b\right).$$ Demostrar que si $0\neq z=\cos\theta+i\operatorname{sen}\theta,\;(\theta\in \mathbb{R})$ y $n$ natural, entonces $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta.$$ … Sigue leyendo

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Forma trigonométrica de los números complejos

En los siguientes ejercicios usamos la forma trigonométrica de los números complejos. Enunciado Expresar en forma binómica $1)\;2[\cos 135^{\text{o}}+i\operatorname{sen } 135^{\text{o}}].\quad 2)\;5[\cos (-\pi/3)+i\operatorname{sen }(-\pi/3)].$ Expresar en forma trigonométrica $3)\;\sqrt{3}-i.\quad 4)\;-1+i.\quad 5)\;-4-4\sqrt{3}i.\quad 6)\;-3i.$ Calcular las siguientes potencias expresando el resultado en … Sigue leyendo

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Números complejos: problemas diversos (1)

Proporcionamos algunos problemas de recapitulación de números complejos. Enunciado Sea $D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|>1\right\}.$ Demostrar que para todo $w_1,w_2\in D$ se verifica $$\left|\dfrac{w_1 – w_2 }{1-\overline{w_ 1 }w_ 2 }\right|<1 .$$ Demostrar que $\left|(1+i)z^3 +iz\right|<3/4$ si $\left|z\right|<1/2.$ Usando la forma trigonométrica de … Sigue leyendo

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