Operaciones con números complejos

Publicada el febrero 6, 2015 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios de operaciones con números complejos.

    Enunciado
  1. Expresar en forma binómica cada uno de los siguientes números complejos: $$a)\;\frac{3-2i}{1+4i}.\;\;b)\;i^{23}.\;\;c)\;\frac{1}{z}.\;\;d)\;\frac{z-1}{z+1}.\;\;e)\;(1-2i)^4.\;\;f)\;\sqrt{3-4i}.$$
  2. Resolver en $\mathbb{C}$ la ecuación $z^2-(2+i)z-1+7i=0.$
  3. Determinar todos los números complejos que son conjugados con su cubo.
  4. $a)$ Demostrar que si $z\in\mathbb{C},$ entonces $\text{Re }z>0\Leftrightarrow \left|z-1\right|<\left|z+1\right|.$
    $b)$ Demostrar que si $x+yi=(s+ti)^n$ con $n\in \mathbb{N},$ $x,y,s,t\in\mathbb{R},$ entonces $x^2+y^2=(s^2+t^2)^n.$
  5. Demostrar que si $r$ es raíz de un polinomio $p(z)\in\mathbb{C}[z]$ con coeficientes reales, también $\overline{r}$ es raíz de $p(z).$
  6. Sabiendo que el polinomio $p(z)=4z^4-12z^3+13z^2-12z +9$ tiene la raíz compleja $r=i,$ hallar todas sus raíces.
  7. Determinar el valor real del parámetro $a$ para que la ecuación en $z$ $$\left|z\right|^2-(3-4i)z-(3-4i)\overline{z}+a=0$$ represente una circunferencia en el plano complejo de radio $3.$
  8. Sean $z_1=1,\;z_2,\;\ldots,\;z_n$ las distintas raíces enésimas de la unidad. Demostrar que $(1-z_2)(1-z_3)\ldots(1-z_n)=n.$
  9. Sea $G=\{z\in \mathbb{C}:\left|z\right|=1\}.$ Demostrar que $(G,\cdot)$ es grupo.
    Solución
  1. $a)$ $\displaystyle\frac{3-2i}{1+4i}=\frac{(3-2i)(1-4i)}{(1+4i)(1-4i)}=\frac{3-8+(-2-12)i}{1^2+4^2}=-\frac{5}{17}-\frac{14}{17}i.$
    $b)$ $i^{23}=i^{20}i^3=\left(i^{4}\right)^5(-i)=1^{5}(-i)=-i.$
    $c)$ $\displaystyle\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}=\frac{\text{Re }z}{\left|z\right|^2}-\frac{\text{Im }z}{\left|z\right|^2}i.$
    $d)$ $\displaystyle\frac{z-1}{z+1}=\frac{z-1}{z+1}\cdot\frac{\overline{z}+1}{\overline{z}+1}=\frac{\left|z\right|^2-1}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}+\frac{2\text{Im }z}{\left|z\right|^2+1+2\text{Re }z}i.$
    $e)$ Usando la fórmula del binomio de Newton $$(1-2i)^4=\binom{4}{0}1^4(2i)^0-\binom{4}{1}1^3(2i)^1+\binom{4}{2}1^2(2i)^2-\binom{4}{3}1^1(2i)^3+\binom{4}{4}1^0(2i)^4$$ $$=1-4\cdot2i+6\cdot4i^2-4\cdot8i^3+1\cdot 16i^4=1-8i-24+32i+16=-7+24i.$$ $f)$ Tenemos para $x,y$ números reales $$\sqrt{3-4i}=x+yi\Leftrightarrow (x+yi)^2=3-4i\Leftrightarrow x^2-y^2+2xyi=3-4i$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-y^2=3\\& 2xy=-4. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Resolvamos el sistema anterior. Sustituyendo $y=-2/x$ en la primera ecuación $$x^2-\frac{4}{x^2}=3,\;\;x^4-3x^2-4=0,\;\;x^2=\frac{3\pm\sqrt{25}}{2}=\{4,-1\}.$$ Como $x$ es real, queda $x=\pm 2$ y por tanto, $y=\mp1.$ Es decir, $\sqrt{3-4i}=\pm(2-i).$
  2. Tenemos $$\displaystyle z=\frac{2+i\pm\sqrt{(2+i)^2-4(-1+7i)}}{2}=\frac{2+i\pm\sqrt{7-24i}}{2}$$ $$=\ldots =\frac{2+i\pm (4-3i)}{2}=\{3-i,-1+2i\}.$$
  3. Sea $z=x+yi$ con $x,y$ reales. Entonces, $$z^3=\overline{z}\Leftrightarrow (x+yi)^3=x-yi\Leftrightarrow x^3+3x^2(yi)+3x(yi)^2+(yi)^3=x-yi$$ $$\Leftrightarrow x^3-3xy^2+(3x^2y-y^3)i=x-yi\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^3-3xy^2=x\\& 3x^2y-y^3=-y \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x(x^2-3y^2-1)=0\\& y(3x^2-y^2+1)=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ De la primera ecuación del sistema anterior se deduce que $x=0$ o $x^2-3y^2-1=0.$ Si $x=0,$ sustituyendo en la segunda obtenemos $y(1-y^2)=0,$ es decir $y=0$ 0 $y=\pm 1.$ Por tanto, los números complejos $0,$ y $\pm i$ satisfacen las condiciones del problema.
    Si $x^2-3y^2-1=0,$ de la segunda ecuación se deduce $y=0$ o $3x^2-y^2+1=0.$ Si $y=0,$ entonces queda $x=\pm 1.$ Si $3x^2-y^2+1=0,$ queda el sistema $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x^2-3y^2-1=0\\& 3x^2-y^2+1=0. \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Restando a la segunda ecuación la primera multiplicada por $3$ obtenemos $8y^2+4=0,$ lo cual no proporciona ninguna solución.
    Los números pedidos son por tanto $0,\;\pm1,\;\pm i.$
  4. $a)$ Tenemos las siguientes equivalencias $$\left|z-1\right|<\left|z+1\right|\Leftrightarrow \left|z-1\right|^2<\left|z+1\right|^2\Leftrightarrow (z-1)\left(\overline{z-1}\right)<(z+1)\left(\overline{z+1}\right)$$ $$\Leftrightarrow(z-1)\left(\overline{z}-1\right)<(z+1)\left(\overline{z}+1\right)\Leftrightarrow z\overline{z}-\overline{z}-z+1<z\overline{z}+\overline{z}+z+1$$ $$\Leftrightarrow 0<2\left(z+\overline{z}\right)\Leftrightarrow 0<\text{Re }z.$$ $b)$ Tomando módulos en ambos miembros $$\left|x+yi\right|=\left|(s+ti)^n\right|=\left|s+ti\right|^n.$$ Elevando al cuadrado $$\left|x+yi\right|^2=\left|s+ti\right|^{2n}=\left(\left|s+ti\right|^{2}\right)^n\Rightarrow x^2+y^2=(s^2+t^2)^n.$$
  5. Sea $p(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kz^k$ con $a_k\in\mathbb{R}$ para todo $k.$ Usando conocidas propiedades del conjugado$$r\text{ es raíz de }p(z)\Rightarrow p(r)=0\Rightarrow \sum_{k=0}^na_kr^k=0\Rightarrow \overline{\sum_{k=0}^na_kr^k}=\overline{0}$$ $$\Rightarrow \sum_{k=0}^n\overline{a_k}\;\overline{r^k}=0\Rightarrow \sum_{k=0}^na_k\;\overline{r}^{\;k}=0\Rightarrow p\left(\overline{r}\right)=0\Rightarrow \overline{r}\text{ es raíz de }p(z).$$
  6. Como el polinomio $p(z)$ tiene todos los coeficientes reales, $-i$ también es raíz de $p(z),$ luego $$p(z)=(z-i)(z+i)q(z)=(z^2+1)q(z)\text{ con }q(z)\in\mathbb{C}[z].$$ Dividiendo $p(z)$ entre $z^2+1$ obtenemos $q(z)=4z^2-12z+9,$ o bien $q(z)=$ $4(z-3/2)^2.$ Las raíces de $p(z)$ son por tanto $\pm i$ (simples) y $3/2$ (doble).
  7. Sea $z=x+yi$ con $x,y$ números reales. Sustituyendo tenemos $$x^2+y^2-(3-4i)(x+yi)-(3+4i)(x-yi)+a=0,$$ $$x^2+y^2-(3x-4xi+3yi+4y)-(3x+4xi-3yi+4y)+a=0,$$ $$x^2+y^2-6x-8y+a=0,\quad (x-3)^2+(y-4)^2=25-a.$$ El radio de la circunferencia es $r=\sqrt{25-a}.$ Para que sea $r=3,$ se ha de verificar $a=16.$
  8. Podemos expresar $z^n-1=(z-1)(z-z_2)\ldots (z-z_n).$ Por otra parte, $$(1-z)(z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1)=z^n-1.$$ En consecuencia $(z-z_2)\ldots (z-z_n)=z^{n-1}+z^{n-2}+\cdots+z+1$ y dando a $z$ el valor $1,$ $$(1-z_2)(1-z_3)\ldots(1-z_n)=n.$$
  9. Veamos que la aplicación $f(z)=\left|z\right|$ es un homomorfismo entre los grupos multiplicativos $\mathbb{C}-\{0\}$ y $(0,+\infty).$ En efecto, para todo $z,w$ $\in \mathbb{C}$ se verifica $$f(zw)=\left|zw\right|=\left|z\right|\left|w\right|=f(z)f(w).$$ Ahora bien $G=\ker f$ lo cual prueba que $G$ es subgrupo del grupo multiplicativo $\mathbb{C}-\{0\}$ y por ende, grupo multiplicativo.
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