Cálculo de valores y vectores propios. Polinomio característico

Proporcionamos ejercicios sobre el cálculo de valores y vectores propios y el polinomio característico.

Enunciado
1. Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{2}&{2}\\{1}&{3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
   $(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.
2. Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfiamo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{5}&{-1}\\{1}&{\;\;3}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
   $(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.
3. Sea $E$ un espacio vectorial y $f:E\to E$ el endomorfismo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{2}&{-1}\end{bmatrix}.$$ Calcular los valores propios de $f$, los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos en los casos:
   $(a)$ El cuerpo de escalares es $\mathbb{R}$.
   $(b)$ El cuerpo de escalares es $\mathbb{C}$.
4. Sea $E$ un espacio vectorial real y $f:E\to E$ el endomorfiamo cuya matriz en una determinada base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ es $$A=\begin{bmatrix}{1}&{-3}&{3}\\{3}&{-5}&{3}\\{6}&{-6}&{4}\end{bmatrix}.$$ $(a)$ Calcular los valores propios de $f$.
   $(b)$ Determinar los subespacios propios, sus dimensiones y una base de cada uno de ellos.
5. Sea $E$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ de dimensión finita $n$. Sea $A$ la matriz de $f$ respecto de una determinada base $B$ de $E$. Demostrar que:
   $(a)$ $\lambda\in\mathbb{K} \text{ es valor propio de } f \Leftrightarrow \det (A-\lambda I)=0$
   $(b)$ Si $\lambda\in \mathbb{K}$ es valor propio de $f$, entonces $x\in V_{\lambda}\Leftrightarrow (A-\lambda I)X=0$ en donde $X$ es el vector de coordenadas de $x$ en la base $B$.
6. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A,B\in\mathbb{K}^{n\times n}$ dos matrices semejantes. Demostrar que $A$ y $B$ tienen el mismo polinomio característico.
7. Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ y sea $\chi(\lambda)$ su polinomio característico. Demostrar que: $$\begin{aligned}&\chi(\lambda)=\lambda^2-(\text{traza } A)\lambda +\det A\quad(\text{si }n=2),\\
   &\chi(\lambda)=-\lambda^3+(\text{traza } A)\lambda^2-(A_{11}+A_{22}+A_{33})\lambda +\det A\quad(\text{si }n=3),\end{aligned}$$ en donde $A_{ii}$ representa el adjunto del elemento $a_{ii}$ de la matriz $A$.
8. Sea $A\in\mathbb{K}^{n\times n}$ y sea $\chi(\lambda)$ su polinomio característico. Demostrar que $$\chi(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+(-1)^{n-1}(\text{traza } A)\lambda^{n-1}+\ldots+\det A.$$
9. Sea $f$ un endomorfismo sobre un espacio vectorial $E$ de dimensión finita sobre el cuerpo $\mathbb{K}$. Sea $\lambda_i$ valor propio de $f$. Demostrar que $1\leq\dim V_{\lambda_i}\leq m(\lambda_i), $ en donde $m(\lambda_i)$ representa la multiplicidad de $\lambda$ como raíz del polinomio característico de $f$.
10. Determinar el endomorfismo $h$ de $\mathbb{R}^3$ que verifica las dos condiciones siguientes
    $\quad i)$ Los subespacios $L[(1,0,1)]$ y el de ecuación $x_1-x_2+x_3=0$ son autoespacios (subespacios propios).
    $\quad ii)$ $h(0,0,1)=(1,0,1).$
11. Sin efectuar previamente el producto, calcular el polinomio característico de la matriz $AB,$ siendo $$A=\begin{bmatrix}{\;\;1}&{\;\;2}\\{\;\;2}&{-2}\\{-1}&{\;\;3}\\{\;\;3}&{\;\;0}\\{\;\;0}&{\;\;4}\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}{2}&{1}&{-3} & 0 & \;\;1\\{1}&{0}&{\;\;2} & 1 & -2\end{bmatrix}.$$
12. Demostrar que una matriz cuadrada $A$ y su traspuesta $A^t$ tienen el mismo polinomio característico. ¿Tienen los mismos vectores propios?
13. Hallar el polinomio característico de la matriz$$A=\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_n\\ a_1 &a_2 & \ldots & a_n \\ \vdots&&&\vdots \\ a_1 & a_2 &\ldots & a_n\end{bmatrix}$$siendo $a_1,a_2,\ldots,a_n$ escalares.
14. Una matriz $A=[a_{ij}]$ cuadrada real de orden $n$ se dice que es matriz de Markov si y sólo si todos sus elementos $a_{ij}$ son mayores o iguales que $0$ y la suma de las componentes de cada columna de $A$ es $1$. Demostrar que $\lambda=1$ es valor propio de toda matriz de Markov.

Solución. Ver página 2.
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