Concepto de aplicación lineal

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de aplicación lineal.

Enunciado
1. Demostrar que la aplicación $f:\mathbb{R}[x]\to\mathbb{R}[x]$ dada por $f(p)=p’$ (derivada de $p$), es lineal.
2. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo. Demostrar que la siguiente aplicación es lineal $$f:\mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{n\times m},\quad f(X)=X^T\text{ (traspuesta de }X). $$
3. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ matriz fija dada. Demostrar que aplicación $$f:\mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n},\quad f(X)=AX-XA$$ es lineal.
4. Sea $\mathcal{C}[a,b]$ el espacio vectorial real de las funciones reales $x(t),$ continuas en el intervalo $[a,b].$ Estudiar si es lineal la aplicación:$$f:\mathcal{C}[a,b]\to \mathbb{R},\quad f\left(x(t)\right)=\int_a^bx(t)\;dt.$$
5. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{m\times n}$ matriz fija dada. Estudiar si es lineal la aplicación $$f:\mathbb{K}^{m\times n}\to \mathbb{K}^{m\times n},\quad f(X)=A+X.$$
6. Sea $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ la aplicación $f(x,y,z)=(x+1,x+2y+3z).$ Analizar si es lineal.
7. Sea $\mathbb{C}$ el espacio vectorial de los números complejos sobre el cuerpo $\mathbb{C}.$ Analizar si es lineal la aplicación $$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\quad f(z)=\bar{z}\quad \text{ (conjugado de } z).$$ Ídem considerando $\mathbb{C}$ como espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}.$
8. Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal y $S=\{v_1,\ldots,v_p\}\subset E$ un sistema ligado. Demostrar que $f(S)$ también es ligado.
9. Dar un ejemplo de una aplicación lineal $f:E\to F$ que transforme un sistema libre de $S$ en un sistema ligado de $F.$
10. Determinar el conjunto de todas las aplicaciones lineales $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ considerado $\mathbb{R}$ como espacio vectorial sobre sí mismo.
11. Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$ y $f:E\to F$ una aplicación. Demostrar que: $$f \text{ es lineal }\Leftrightarrow f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)\quad \forall \lambda ,\mu\in \mathbb{K},\;\forall x,y\in E.$$
12. Sea $f:E\to F$ una aplicación lineal. Demostrar que,
    $1)\;f(0)=0.$
    $2)\;f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in E.$
    $3)\;f(x-y)=f(x)-f(y)\;\forall x,y\in E$
13. Sea $E=\mathcal{C}\left(\mathbb{R}^+\right)$ el espacio vectorial real de las funciones reales continuas $f$ definidas en $\mathbb{R}^+.$ Sea $T:E\to E$ la aplicación $f\to T(f)=F$ definida por $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & F(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\;dt\quad (x>0)\\& F(0)=f(0). \end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Demostrar que $T$ es lineal.
14. Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y $A\in \mathbb{K}^{n\times n}$ matriz fija dada. Demostrar que aplicación $f:\mathbb{K}^{n\times n}\to \mathbb{K}^{n\times n},$ $f(X)=AX$ es lineal.

Solución
1. Usando conocidas propiedades de la derivación:
   $(i)$ Para todo $p,q\in\mathbb{R}[x]:$ $$f(p+q)=(p+q)’=p’+q’=f(p)+f(q).$$ $(ii)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $p\in\mathbb{R}[x]:$
   $$f(\lambda p)=(\lambda p)’=\lambda p’=\lambda f(p).$$ Concluimos que $f$ es lineal.
2. Usando conocidas propiedades de la transposición: $(i)$ Para todo $X,Y\in \mathbb{K}^{m\times n}:$ $$f(X+Y)=(X+Y)^T=X^T+Y^T=f(X)+f(Y).$$ $(ii)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $X\in\mathbb{K}^{m\times n}:$ $$f(\lambda X)=(\lambda X)^T=\lambda X^T=\lambda f(X).$$ Concluimos que $f$ es lineal.
3. $(i)$ Para todo $X,Y\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$f(X+Y)=A(X+Y)-(X+Y)A=AX+AY-XA-YA$$ $$=(AX-XA)+(AY-YA)=f(X)+f(Y).$$ $(ii)$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $X\in\mathbb{K}^{n\times n}:$$$f(\lambda X)=A(\lambda X)-(\lambda X)A=\lambda (AX)-\lambda(XA)=\lambda (AX-XA)=\lambda f(X).$$ Concluimos que $f$ es lineal.
4. Usando conocidas propiedades de la integral definida, se verifica para todo $\lambda ,\mu\in\mathbb{R}$ y para todo $x(t),y(t)\in \mathcal{C}[a,b]:$ $$f\left(\lambda x(t)+\mu y(t)\right)=\int_a^b\left(\lambda x(t)+\mu y(t)\right)dt$$ $$=\lambda \int_a^b x(t)\;dt+\mu \int_a^b y(t)\;dt=\lambda f\left(x(t)\right)+\mu f\left(y(t)\right) .$$ Concluimos que $f$ es lineal.
5. $(i)$ Para todo $X,Y\in \mathbb{K}^{m\times n}:$ $$f(X+Y)=A+(X+Y),\quad f(X)+f(Y)=(A+X)+(A+Y).$$ Entonces, $f(X+Y)=f(X)+f(Y)$ equivale a $A+X+Y=2A+X+Y,$ y esta última igualdad se verifica para todo $X,Y,$ si y sólo si $A=0,$ único caso para el cual $f$ puede ser lineal.
   $(ii)$ Para $A=0$ la aplicación es $f(X)=X.$ Para todo $\lambda \in\mathbb{K}$ y para todo $X\in\mathbb{K}^{m\times n}:$ $$f(\lambda X)=\lambda X=\lambda f(X).$$ Concluimos que $f$ es lineal si y sólo si $A=0.$
6. Dado que $f(0,0,0)=(1,0)\neq (0,0),$ la aplicación no es lineal.
7. Considerando $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ y eligiendo $\lambda=i,$ y $x=1:$ $$f(i1)=\overline{i1}=\bar{i}=-i,\quad if(1)=i\bar{1}=i1=i,$$ es decir, $f(i1)\neq if(1),$ luego $f$ no es lineal.
   Consideremos ahora $\mathbb{K}=\mathbb{R}.$ Entonces, para todo $\lambda,\mu \in\mathbb{R}$ y para todo $z,w\in\mathbb{C}:$ $$f(\lambda z+\mu w)=\overline{\lambda z+\mu w}=\overline{\lambda z}+\overline{\mu w}=\bar{\lambda}\bar{z}+\bar{\mu}\bar{w}=\lambda\bar{z}+\mu\bar{w}=\lambda f(z)+\mu f(w)$$ por tanto, $f$ es lineal.
8. En efecto, veamos que $f(S)=\{f(v_1),\ldots,f(v_p)\}$ es ligado. Como $S$ es ligado, existen escalares no todos nulos tales que $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p=0.$ Aplicando $f$ a ambos miembros, usando la linealidad de $f$ y que $f(0)=0:$ $$\lambda f(v_1)+\cdots+\lambda_pf(v_p)=0,$$ no siendo nulos todos los escalares, en consecuencia $f(S)$ es ligado en $F.$
9. Consideremos la aplicación lineal $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R},$ $f(x_1,x_2)=x_1+x_2.$ El sistema $S=\{(1,0),(0,1)\}$ es libre en $\mathbb{R}^2,$ sin embargo, $f(S)=\{1,1\}$ es ligado.
10. Sea $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ lineal y sea $f(1)=a.$ Entonces, para todo $x\in \mathbb{R}$ se verifica $$f(x)=f(x\cdot 1)=xf(1)=xa,$$ es decir si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es lineal, $f$ es de la forma $f(x)=ax$ con $a\in\mathbb{R}.$ Recíprocamente, si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es de la forma $f(x)=ax$ con $a$ real, se verifica para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ escalares y para todo $x,y\in\mathbb{R}$ vectores: $$f(\lambda x+\mu y)=a(\lambda x+\mu y)=\lambda ax+\mu ay=\lambda f(x)+\mu f(y),$$ luego $f$ es lineal. Concluimos que el conjunto pedido es $$\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:f(x)=ax\text{ con }a\in\mathbb{R}\}.$$
11. $\Rightarrow)$ Como $f$ es lineal, para todo $\lambda ,\mu\in \mathbb{K}$ y para todo $x,y\in E,$ $$f(\lambda x+\mu y)=f(\lambda x)+f(\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y).$$ $\Leftarrow)$ $(i)$ Para $\lambda=\mu=1,$ se verifica para todo $x,y\in E:$
    $$f(x+y)=f(1x+1y)=1f(x)+1f(y)=f(x)+f(y).$$ $(ii)$ Para $\mu=0,$ se verifica para todo $\lambda\in\mathbb{K}$ y para todo $x\in E:$ $$f(\lambda x)=f(\lambda x+0y)=\lambda f(x)+0f(y)=\lambda f(x).$$
12. Si $f$ es lineal, es homomorfismo entre los grupos aditivos $(E,+)$ y $(F,+),$ con lo cual $1),$ $2)$ y $3)$ son consecuencia inmediata de conocidas propiedades de esos homomorfismos.
13. Veamos previamente que $T$ está bien definida, es decir que $F\in E.$ Las propiedades de la integral aseguran que $F$ es continua para $x>0.$ Por otra parte, por aplicación de la regla de L’Hopital y el teorema fundamental del Cálculo, $$\lim_{x\to 0^+}F(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{\int_0^xf(t)\;dt}{x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{1}=f(0)=F(0),$$ luego $F$ también es continua en $0.$ Veamos que $T$ es lineal. En efecto, para $\alpha,\beta$ reales, $f,g\in E,$ y $x>0$ $$T(\alpha f+\beta g)(x)=\frac{1}{x}\int_0^x\left(\alpha f(t)+\beta g(t)\right)dt$$ $$=\alpha\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\;dt+\beta\frac{1}{x}\int_0^x g(t)\;dt=\alpha T(f)(x)+\beta T(g)(x)$$ $$=\left(\alpha T(f)+\beta T(g)\right)(x).$$ Por otra parte, $$T(\alpha f+\beta g)(0)=(\alpha f+\beta g)(0)=\alpha f(0)+\beta g(0)$$ $$=\alpha T(f)(0)+\beta T(g)(0)=\left(\alpha T(f)+\beta T(g)\right)(0).$$ Hemos demostrado pues que para todo $\alpha,\beta$ reales y $f,g\in E,$ $T(\alpha f+\beta g)=$ $\alpha T(f)+\beta T(g)$ y por tanto $T$ es lineal.
14. Para todo $\lambda,\mu \in\mathbb{K}$ y para todo $X,Y\in \mathbb{K}^{n\times n}:$ $$f(\lambda X+\mu Y)=A(\lambda X+\mu Y)=\lambda AX+\mu AY=\lambda f(X)+\mu f(Y).$$ Concluimos que $f$ es lineal.