Concepto de indeterminación

Proporcionamos ejercicios sobre el concepto de indeterminación.

Enunciado
1. Demostrar que $\dfrac{0}{0}$ es es una forma indeterminada considerando los límites:
   $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{2x}{x}$ y $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}.$
2. Demostrar que $\dfrac{\infty}{\infty}$ es una forma indeterminada considerando los límites:
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x}$ y $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{x}{2x}.$
3. Demostrar que $0\cdot \infty$ es una forma indeterminada considerando los límites:
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac {1}{x}\cdot 6x$ y $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac {1}{x}\cdot 4x.$
4. Demostrar que $\infty- \infty$ es una forma indeterminada considerando los límites:
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left((x+1)-x\right)$ y $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left((x+2)-x\right).$
5. Demostrar que $1^{\infty}$ es una forma indeterminada considerando los límites:
   $L_1=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x$ y $L_2=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x.$

Solución
1. En ambos casos, los numeradores y denominadores tiene límite $0,$ es decir en ambos aparece la expresión $0/0$ Los anteriores límites los podemos calcular sencillamente simplificando: $$\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x}=\lim_{x\to 0}2=2\;,\quad \lim_{x\to 0}\frac{3x}{x}=\lim_{x\to 0}3=3.$$ La conclusión es obvia: si al calcular un límite, aparece la expresión $0/0,$ con ese único conocimiento no podemos asegurar cual es el valor del límite, dependerá de las funciones que intervienen. Por esa razón, decimos que $0/0$ es una forma indeterminada, expresión indeterminada, o indeterminación.
2. En ambos casos aparece la expresión $ \infty/\infty.$ De nuevo, podemos calcular los límites simplificando: $$\lim_{x\to \infty}\frac{5x}{x}=\lim_{x\to \infty}5=5,\quad \lim_{x\to \infty}\frac{x}{2x}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ Por tanto, $\infty/\infty$ es una forma indeterminada.
3. En ambos casos aparece la expresión $0\cdot \infty,$ y se verifica: $$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac {1}{x}\cdot 6x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}6=6,\quad \displaystyle\lim_{x\to \infty}\dfrac {1}{x}\cdot 4x=\displaystyle\lim_{x\to \infty} 4=4$$ Por tanto, $0\cdot \infty$ es una forma indeterminada.
4. En ambos casos aparece la expresión $\infty- \infty,$ y se verifica: $$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left((x+1)-x\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}1=1,\quad \displaystyle\lim_{x\to \infty}\left((x+2)-x\right)=\displaystyle\lim_{x\to \infty}2=2.$$ Por tanto, $\infty- \infty$ es una forma indeterminada.
5. En ambos casos aparece la expresión $1^{\infty}.$ Por definición del número $e,$ $L_1=e.$ Por otra parte, $$\begin{aligned}& L_2=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left(1+\dfrac{1}{x/2}\right)^{(x/2)\cdot 2}=\\
   &=\displaystyle\lim_{x\to \infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{x/2}\right)^{x/2}\right]^2=e^2.
   \end{aligned}$$ Por tanto, $1^{\infty}$ es una forma indeterminada.