Concepto de sistema autónomo

Publicada el julio 6, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Sea $M\subset \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto,  $v:M\to \mathbb{R}^n$ un campo vectorial de clase al menos $1$ y $x_0\in\mathbb{R}^n.$  Al sistema diferencial $$\left \{ \begin{matrix} x’=v(x)\\x(0)=x_0\end{matrix}\right.\qquad (1)$$ se le llama sistema autónomo asociado al campo $v$ con la condición inicial $x(0)=x_0.$ Denotando $$x=\begin{bmatrix}x_1\\ \vdots\\{x_n}\end{bmatrix},\;\; x’=\begin{bmatrix}x’_1\\ \vdots\\{x’_n}\end{bmatrix},\;\;v=\begin{bmatrix}v_1\\ \vdots\\{v_n}\end{bmatrix},\;\;x_0=\begin{bmatrix}x_0^1\\ \vdots\\{x_0^n}\end{bmatrix},$$ podemos escribir $(1)$ en la forma $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=v_1(x_1,\ldots,x_n) \\\ldots\\x’_n=v_n(x_1,\ldots,x_n)\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=x_0^1 \\\ldots\\x_n(0)=x_0^n\end{matrix}\right.\quad (2)$$
  • Observación.  Lo que caracteriza a un sistema autónomo es que en el segundo miembro $v(x)$ no aparece explícitamente la variable independiente $t.$

Enunciado
1.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=1+x_1^2\\x’_2=-2x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=1.\end{matrix}\right.$$ 2.  Analizar si el siguiente sistema diferencial es autónomo $$\left \{ \begin{matrix} x’_1=x_1\cos t\\x’_2=-x_1x_2\end{matrix}\right.\quad \left \{ \begin{matrix} x_1(0)=0\\x_2(0)=0.\end{matrix}\right.$$

Solución
1.  El campo vectorial $v=(1+x_1^2,-2x_1x_2)^T$ está definido en el abierto $M=\mathbb{R}^2$. Además, las parciales $$\begin{aligned}&\frac{\partial v_1}{\partial x_1}=2x_1,\;\frac{\partial v_1}{\partial x_2}=0,\\
&\frac{\partial v_2}{\partial x_1}=-2x_2,\;\frac{\partial v_2}{\partial x_2}=-2x_1,\end{aligned}$$ son continuas en $M$ por tanto $v$ es al menos de clase $1.$ El sistema dado es autónomo.

2.  Aparece explícitamente la variable independiente $t$ en el segundo miembro de $v(x),$ en consecuencia el sistema no es autónomo.

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