Conjetura de Goldbach

Damos enfoques dinámico y notacional a la  Conjetura de Goldbach.

1. Introducción

Analizamos las consecuencias que se derivan de considerar los números naturales asociados a estados de tiempo, que en una primera aproximación intuitiva equivaldría a examinar distintas formas de conteo de estos dependiendo de la mayor o menor amplitud del intervalo de tiempo que transcurre entre el instante que contamos cada número natural y su sucesor.

Usaremos como referencia fundamental mi ponencia [2] y su completo desarrollo teórico [3], en donde se construye mediante procesos dinámicos una familia de interpretaciones de la aritmética de primer orden de tal manera que una aceleración caracteriza un enunciado aritmético $\mathcal{S},$ caracterización que se pierde en un instante de tiempo, obteniendo una singularidad temporal.

Como casi era de esperar el tema se enfocará hacia el concepto de número primo, de hecho el enunciado $\mathcal{S}$ al que nos referimos es la Conjetura de Goldbach (todo número par mayor que dos es la suma de dos primos), enunciado que a dia de hoy no ha sido ni demostrado ni refutado. Más aún, en su famoso discurso en la Sociedad Matemática de Cophenague G.H. Hardy declaró que $S$ es probablemente tan difícil como cualquiera de los problemas no resueltos en matemáticas y por tanto el problema de Goldbach no es solamente uno de los más famosos y dificiles problemas en teoría de números sino en todas las matemáticas ([7]).

2. Aspecto dinámico

En [5], J.J. Sylvester manifiesta:

I have sometimes thought that the profound mystery which envelops our conceptions relative to prime numbers depends upon the limitations of our faculties in regard to time, which like space may be in essence poly-dimensional and that this and other such sort of truths would become self-evident to a being whose mode of perception is according to “superficially” as opposed to our own limitation to “linearly” extended time.
Con independencia de lo que pasara por la mente del genial matemático cuando escribió lo anterior, exponemos lo que se ha demostrado en [3]:

Existe una familia de movimientos dados por una función real $ s=s(v,t) $ de dos variables reales en donde $ 0<v\leq 1 $ es un parámetro, $t\geq 0$ representa tiempo y $s$ espacio. Para $v=a$ elegimos $0=t_{a0}<t_{a1}<t_{a2}<\ldots$ que representan instantes de tiempo asociados a los números naturales $0,1,2,\ldots$ respectivamente. Análogamente para $v=b$ elegimos los instantes $0=t_{b0}<t_{b1}<t_{b2}<\ldots$ asociados a $0,1,2,\ldots$ respectivamente, proceso este que se generaliza a $0=t_{v0}<t_{v1}<t_{v2}<\ldots$ para todo $0<v\leq 1$. Deberíamos precisar qué entendemos por elegir esos instantes de tiempo asociados a los números naturales.

La función $s=s(v,t)$ se ha construido usando para todo $ 0<v\leq 1 $ una biyección previa $\psi_v:\mathbb{R}^+\to [0,A_v)$ con $A_v\in (0,+\infty]$ que permite decidir en el movimiento correspondiente a $v$ la elección $t_{vn}=\psi_v(n)$ para todo $v$ y para todo número natural $n$. Es decir, convenimos en asociar al instante $t_{vn}$ al número natural $n$.

Cada biyección $\psi_v$ permite sumergir de forma natural la aritmética usual de $\mathbb{N}$ $=$ $\{0,1,2,\ldots\}$ en $[0,A_v)$. Por ejemplo, si para un $v$ se verifica $\psi_v(2)=0.83$, $\psi_v(3)=1.725$, $\psi_v(5)=4.3$, $\psi_v(6)=8.95$ dado que $2+3=5$ y $2\times 3=6$, al sumergir la aritmética obtenemos las operaciones $0.83\oplus_v 1.725=4.3$ y $0.83\otimes_v 1.725=8.95$. Conseguimos pues mediante $\psi_v$ una aritmética isomorfa a la usual por un simple cambio de notación.

Volvamos al enunciado $\mathcal{S}$ y consideremos un número par $\alpha \geq 16$. Esta condiciónn se impone por razones técnicas de demostraciónn (para $2<\alpha<16$ la veracidad de $\mathcal{S}$ es trivialmente comprobable). Consideremos además la condición $\alpha -3$ no primo (si lo fuera, $\alpha=3+(\alpha-3)$ y $\mathcal{S}$ sería verdadero) y la condición $\alpha/2$ no primo (si lo fuera, $\alpha$ $=$ $\alpha/2$ $+$ $\alpha/2$ y $\mathcal{S}$ también sería verdadero). El conjunto $\mathcal{P}$ de los números pares $\alpha\geq 16$ que cumplen las condiciones $\alpha-3$ y $\alpha/2$ no primos es infinito y centramos en él nuestra atención.

Claramente para $\alpha\in \mathcal{P}$ el enunciado $\mathcal{S}$ sería verdadero si y sólo si existe un primo $k$ con $5<k<\alpha/2$ tal que $\alpha-k$ es primo. Para cada $0<v\leq 1$ fijo, la ley de movimiento $s_v(t)$ $=$ $s(v,t)$ tiene una aceleración continua, y en la fórmula que la determina aparece para cada $4\leq k<\alpha/2$ natural un par de coeficientes reales $x_{k,v},y_{k,v}$ es decir, una sucesiónn de puntos $P_{k,v}=(x_{k,v},y_{k,v})$, a los que llamamos puntos esenciales. Se verifica para todo $0<v<1$ que $k$ y $\alpha-k$ son primos si y sólo si $P_{k,v}=P_{k-1,v}$ es decir, si dos puntos esenciales consecutivos están repetidos. Sin embargo para $v=1$ ocurre que todos los puntos esenciales coinciden, es decir la anterior caracterización se ha perdido.

Consideremos ahora $v$ como variable tiempo. Tenemos un movimiento de movimientos es decir, para cada instante $v$ está definido un movimiento $s_v(t)$ y estos varían de forma continua con respecto a $v$. De la consideración de $s=s(v,t)$ como movimiento en tiempo “bi-dimensional” se extraen las siguientes consecuencias:

$(i)$ La primalidad simultánea de $ k $ y de $ \alpha-k $ equivale a una igualdad de ciertos elementos de $ \mathbb{R}^2 $.
$(ii)$ Existe una caracterización de al menos un enunciado aritmético que depende del tiempo.
$(iii)$ La consideración dinámica de la aritmética añade información a la de Peano, que es puramente estática.

Nótese que hemos usado la identificación instante de tiempo con número real en el continuo matemático construido vía sucesiones de Cauchy o cortaduras de Dedekind. Esta identificación no sería posible para Brouwer ([1]) para el cual el único “elemento a priori” del continuo es el tiempo. Según manifiesta Weyl en [6]:

How then do assertions arise which concern, not all natural, but all real numbers, i.e., all values of a real variable? Brouwer shows that frequently statements of this form in traditional analysis, when correctly interpreted, simply concern the totality of natural numbers. In cases where they do not, the notion of sequence changes its meaning: it no longer signifies a sequence determined by some law or other, but rather one that is created step by step by free acts of choice, and thus remains in statu nascendi. This ‘becoming’ selective sequence represents the continuum, or the variable, while the sequence determined ad infinitum by a law represents the individual real number falling into the continuum. The continuum no longer appears, to use Leibniz’s language, as an aggregate of fixed elements but as a medium of free ‘becoming’.

3. Aspecto notacional

En este apartado no consideramos los números naturales asociados a estados de tiempo, sino qué consecuecuencias a efectos de información aritmética (en concreto a la primalidad) puede tener el cambio de un simbolismo inicial. Partimos del dado por el sistema decimal $ \mathbb{N}=\{0,1,2\ldots,10,11,\ldots\} $ y consideramos la ya mencionada biyección $\psi_v:\mathbb{R}^+\to [0,A_v)$. Denotando por $ \hat{n}_v $ a $ \phi_v (n) $, obtenemos $$ \widehat{\mathbb{N}}_v:=\psi_v(\mathbb{N})=\{\hat{0}_v,\hat{1}_v,\hat{2}_v,\ldots\} $$ y la estructura algebraica usual $ (\mathbb{N},+,\times) $ se transporta inmediatamente a $ \widehat{\mathbb{N}}_v=\psi_v(\mathbb{N}) $ mediante las operaciones $ \hat{m}_v\oplus_v \hat{n}_v=\psi_v (m+n) $ y $ \hat{m}_v\otimes_v \hat{n}_v=\psi_v (m\times n) $ obteniendo la estructura algebraica $ (\widehat{\mathbb{N}}_v,\oplus_v,\otimes_v) $ isomorfa a la inicial.

Debido a esto llamamos número natural indistintamente a $ n $ y a $ \hat{n}_v $. Ocurre además por construcción que para $ v=1 $ obtenemos $ \psi_1=I $ (aplicación identidad en $ \mathbb{R}^+ $), es decir $ n=\hat{n}_1 $ para todo número natural $ n $ y recuperamos la notación inicial. Demostramos en [3] que para todo $ 0<v\leq 1 $ y para todo $ k\geq 4 $ número natural existe un número real $ x_{k,v} $ tal que:

$(a)$ Para todo $ 0<v<1$ se verifica que $ k\geq 5 $ es primo sí, y sólo si $ x_{k-1,v}=x_{k,v}$.
$(b)$ Para $ v=1 $ y para todo $ k\geq 5 $ se verifica $ x_{k-1,1}=x_{k,1}$.

Obsérvese que en el aspecto dinámico tenemos una caracterización de los números primos que afecta a cada estructura parcial determinada por $ \alpha\in\mathcal{P} $ (si bien para infinitos $ \alpha $). Es decir, la veracidad del enunciado $ \mathcal{S} $ para cada $ \alpha\in\mathcal{P} $ sólo depende de la distribución de los números primos mayores que $ 3 $ y menores que $ \alpha-3. $

Ha sido precisamente esa estructura parcial la que ha permitido construir funciones $ s_v(t) $ con derivada segunda continua e interpretrarlas como un movimiento, ahora la situación es distinta. Demostramos en [3] que no es posible construir las funciones $ s_v(t) $ con tal continuidad, para que se cumplan las condiciones $(a)$ y $(b)$ anteriores. Es decir, ahora no tenemos movimientos pero sí cambios en la notación inicial tal manera que para todo $0<v<1$ el concepto de número primo se reduce a la igualdad de ciertos elementos de $\mathbb{R},$ pero no sólo para estructuras parciales sino para todos los primos mayores que $3.$ Para $ v=1 $ recuperamos la notación inicial y los primos no se reconocen por tal igualdad.

Los números $ x_{k,v} $ se obtiene mediante la derivada segunda del área de regiones limitadas por hipébolas deformadas convenientemente elegidas. En una primera aproximación esto querría decir que es la geometría la que añade información a los modelos correspondientes a $0<v<1,$ pero no es así.

Si bien se ha usado el concepto de área de una región en el plano euclíideo, esto sólo ha sido como guía para la intuición, pero se puede prescindir de consideraciones geoméricas. Efectivamente, basta para ello usar la medida $ \mu $ de Lebesgue en $ \mathbb{R}^2 $ ([4]), de esta manera el proceso de construcción de los números $ x_{k,v} $ es debido a la medida $ \mu (B) $ de ciertos subconjuntos $ B\subset \mathbb{R}^2 $.

Podemos concluir por tanto que existe al menos un simbolismo adecuado para representar a la estructura usual $ (\mathbb{N},+,\times) $ (por ejemplo el sistema decimal) capaz de generar él mismo otro adecuado y con más información aritmética que el original, en concreto con respecto a la primalidad.

Referencias

[1]  L.E.J. Brouwer. Collected works I. Philosophy and Foundations of Mathematics. North-Holland, Amsterdam, 1975.
[2]  Fernando Revilla, Goldbach Conjecture and Peano Arithmetic, Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería Civil y Arquitectura (sección de desarrollos teóricos de la matemática aplicada) (Madrid, 2007), ref. 702, pp. 451-454, ISBN 978-84-7493-381-9.
[3]  Fernando Revilla, Dynamic processes associated to Natural Numbers.
[4]  Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill,(1987), pp. 49-55.
[5] J.J. Sylvester, On certain inequalities relating to prime numbers, Nature 38 (1888) 259-262, y reproducida en Collected Mathematical Papers, Volume 4, p. 600, Chelsea, New York, 1973.
[6] Hermann Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Science, Princeton University Press (1949) p. 52.
[7]  Yuan Wang, The Goldbach Conjecture, Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., (2002) p. 1.

3 respuestas a Conjetura de Goldbach

  1. Fernando Revilla dijo:

    Los comentarios son bienvenidos. Gracias

  2. Eulogio Garcia dijo:

    le informo que la conjetura fuerte de Goldbach ha sido demostrada.

    publicado en: http://www.hrpub.org/journals/jour_info.php?id=24 Vol 3 (3) 2015

    Saludos.
    Eulogio

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