Convergencia uniforme de sucesiones de funciones

Proporcionamos ejercicios sobre la convergencia uniforme de sucesiones de funciones.

Enunciado
1. Demostrar que la sucesión de funciones $$f_n:(-1,1)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=x^n$$ converge puntualmente en $(-1,1)$ pero no uniformemente.
2. Se considera la sucesión de funciones: $$f_n:(0,+\infty)\to \mathbb{R},\quad f_n(x)=e^{-n^2x^2}.$$ Determinar la función límite puntual $f$ y analizar si $f_n\to f$ uniformemente.
3. Demostrar que la sucesión de funciones $f_n(x)=\dfrac{x}{nx+1}$ converge uniformemente hacia la función nula en el intervalo $(0,1).$
4. Sea $I$ un intervalo de la recta real y $f_n:I\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a la función $f$ en $I.$ Demostrar que $f$ es continua.
5. Demostrar que que la sucesión de funciones $f_n:(-1,1]\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=x^n$ no converge uniformemente.
6. Mostrar con un ejemplo que una sucesión de funciones $f_n$ puede converger a una función continua sin que la convergencia sea uniforme.
7. Sea $f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ una sucesión de funciones continuas que converge uniformemente a la función $f$ en $[a,b].$ Demostrar que $$\lim_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)\;dx=\int_a^b f(x)\;dx.$$
8. Se considera la sucesión de funciones $f_n:[0,1]\to \mathbb{R},$ $f_n(x)=nxe^{-nx^2}.$ Comprobar que $$\lim_{n\to \infty}\int_0^1f_n(x)\;dx\neq \int_0^1 \lim_{n\to\infty}f_n(x)\;dx.$$ Esto prueba que en general las operaciones límite e integración no se pueden intercambiar.
9. Sea $f_n:[a,b]\to\mathbb{R}$ una sucesión de funciones derivables con derivada continua en $[a,b]$ (es decir $f_n\in\mathcal{C}^1[a,b]$). Supongamos que se verifica
   $(i)\;$ $f_n\to f$ uniformemente en $[a,b].$
   $(ii)$ $f’_n\to g$ uniformemente en $[a,b].$
   Demostrar que $g$ admite derivada continua y además $f’=g$ en $[a,b].$
10. Demostrar el criterio de Cauchy para la convergencia uniforme:
    Sea $I\subset\mathbb{R}$ intervalo y $f_n:I\to\mathbb{R}$ una sucesión de funciones. Entonces, $f_n$ converge uniformemente a un límite $f$ en $I$ si, y sólo si para todo $\epsilon >0$ existe un número natural $n_0$ tal que $m,n\geq n_0$ implica $\left|f_m(x)-f_n(x)\right|<\epsilon$ para todo $x\in I.$

Solución
1. Dado que $\left|x\right|<1,$ se verifica $x^n\to 0$ y por tanto $f_n$ converge puntualmente en $(-1,1)$ a la función nula. Veamos que la convergencia no es uniforme. Elijamos $0<\epsilon <1$ y supongamos que existe $n_0$ natural tal que $\left|x^n-0\right|<\epsilon$ para todo $n\geq n_0$ y para todo $x\in (-1,1).$ Entonces, teniendo en cuenta que $\log \left|x\right|<0:$ $$\left| x^n\right|<\epsilon \Leftrightarrow \left| x\right|^n<\epsilon \Leftrightarrow n\log \left|x\right|<\log \epsilon\Leftrightarrow n>\frac{\log \epsilon}{\log \left|x\right|}.$$ Ahora bien, si $x\to 1,$ $\log \left|x\right|\to 0$ y por tanto $\log \epsilon/\log \left|x\right|\to +\infty$ (pues $\log \epsilon<0$). Esto es una contradicción pues para cualquier $n\geq n_0$ podemos elegir valores de $x\in(-1,1)$ que cumplan $\left| x^n\right|\not<\epsilon.$ La convergencia no es uniforme.
2. Como $-n^2x^2\to -\infty$ para todo $x>0,$ $f_n(x)\to 0$ y por tanto la función límie puntual es la función nula. Veamos que la convergencia no es uniforme. Elijamos $0<\epsilon <1$ y supongamos que existe $n_0$ natural tal que $\left|e^{-n^2x^2}-0\right|<\epsilon$ para todo $n\geq n_0$ y para todo $x\in (0,+\infty).$ Entonces, $$\left|e^{-n^2x^2}-0\right|<\epsilon\Leftrightarrow e^{-n^2x^2}<\epsilon \Leftrightarrow -n^2x^2<\log \epsilon$$ $$\Leftrightarrow n^2x^2>-\log \epsilon\Leftrightarrow n>\sqrt{\frac{-\log \epsilon}{x}}.$$ Ahora bien, si $x\to 0,$ $\sqrt{(-\log \epsilon)/x}\to +\infty.$ Esto es una contradicción pues para cualquier $n\geq n_0$ podemos elegir valores de $x\in(0,+\infty)$ que cumplan $e^{-n^2x^2}\not<\epsilon.$ La convergencia no es uniforme.
3. Sea $\epsilon >0.$ Tenemos las equivalencias $$\left|f_n(x)-0\right|<\epsilon\Rightarrow \dfrac{x}{nx+1}<\epsilon\Leftrightarrow \frac{x}{\epsilon}<nx+1$$ $$\Leftrightarrow \frac{x}{\epsilon}-1<nx\Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{x}<n.$$ Como $x\in (0,1),$ $1/x>1$ lo cual implica que $1/\epsilon-1/x<1/\epsilon -1.$ Entonces, eligiendo $n_0$ natural tal que $n_0>1/\epsilon-1,$ se verifica $\left|f_n(x)-0\right|<\epsilon$ para todo $n\geq n_0$ y para todo $x\in (0,1).$ Concluimos que $f_n\to 0$ en $(0,1)$ uniformemente.
4. Sea $x_0\in I$ genérico. Demostremos que $f$ es continua en $x_0.$ Sea $\epsilon >0.$ Por ser $f_n$ continua en $x_0,$ existe $\delta >0$ tal que $$\left|f_n(x)-f_n(x_0)\right|<\epsilon /3\text{ si }\left|x-x_0\right|<\delta.$$ Como $f_n\to f$ uniformemente en $[a,b]$ existe un $n_0$ natural tal que $$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon /3\text{ si }n\geq n_0 \text{ y }\forall x\in I,$$ $$\left|f_n(x_0)-f(x_0)\right|<\epsilon /3\text{ si }n\geq n_0.$$ Sumando y restando $f_n(x)$ y $f_n(x_0):$ $$\left|f(x)-f(x_0)\right|=\left|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-f_n(x_0)+f_n(x_0)-f(x_0)\right|$$ $$\leq \left|f(x)-f_n(x)\right|+\left|f_n(x)-f_n(x_0)\right|+\left|f_n(x_0)-f(x_0)\right|$$ $$<\epsilon /3+\epsilon /3+\epsilon /3=\epsilon.$$ Por tanto, $f$ es continua para todo $x_0\in I,$ luego es continua en $I.$
5. Las funciones $f_n$ son continuas en $(-1,1]$ y vimos en otro ejercicio que la función límite puntal es $$f:(-1,1]\to \mathbb{R},\quad f(x)=\left \{ \begin{matrix} 0& \mbox{ si }& x\in (-1,1)\\ 1& \mbox{ si }&x=1,\end{matrix}\right.$$ que no es continua. En consecuencia la convergencia no puede ser uniforme.
6. Vimos en otro ejercicio que la sucesión de funciones $f_n:(-1,1)\to\mathbb{R},$ $f_n(x)=x^n$ converge no uniformemente a la sucesión nula (que es continua).
7. La integral $\int_a^bf(x)\;dx$ existe pues sabemos que $f$ ha de ser continua en $[a,b].$ Sea $\epsilon>0,$ como $f_n\to f$ uniformemente existe $n_0$ natural tal que $$\left|f_n(x)-f(x)\right|<\frac{\epsilon}{b-a}\text{ si }n\geq n_0\text{ y }\forall x\in[a,b].$$ Entonces, $$\left|\int_a^bf_n(x)\;dx-\int_a^bf(x)\;dx\right|=\left|\int_a^b\left(f_n(x)-f(x)\right)dx\right|$$ $$\leq \int_a^b\left|f_n(x)-f(x)\right|dx\leq \frac{\epsilon}{b-a}\cdot (b-a)=\epsilon.$$ Es decir, $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\int_a^bf_n(x)\;dx=\int_a^b f(x)\;dx.$
8. Por una parte tenemos $$\int_0^1f_n(x)\;dx=-\frac{1}{2}\int_0^1(-2nx)e^{-nx^2}\;dx=-\frac{1}{2}\left[e^{-nx^2}\right]_0^1$$ $$=\frac{1}{2}\left(e^{-n}-1\right)\Rightarrow\lim_{n\to \infty}\int_0^1f_n(x)\;dx=\frac{1}{2}.$$ Por otra parte, $f_n(0)=0$ y $f_n(x)=nx/e^{nx^2}\to 0$ en $(0,1]$ pues el numerador es infinito de orden menor que el denominador. La función límite puntual es la función nula y por tanto, $$\int_0^1 \lim_{n\to\infty}f_n(x)\;dx=\int_0^10\;dx=0.$$
9. Las funciones $f_n(x)$ y $f_n(a)+\int_a^xf’_n(t)\;dt$ tienen la misma derivada en $[a,b]$ por tanto $$f_n(x)=K+f_n(a)+\int_a^xf’_n(t)\;dt\;\;(K\text{ constante}).\quad (1)$$ Haciendo $x=a$ obtenemos $K=0,$ es decir $$f_n(x)=f_n(a)+\int_a^xf’_n(t)\;dt.$$ Como $f’_n\to g$ uniformemente, $$\int_a^xf’_n(t)\;dt\to \int_a^xg(t)\;dt.$$ Tomando límites en $(1)$ cuando $n\to\infty:$ $$f(x)=f_n(a)+\int_a^xg(t)\;dt.\quad (2)$$ La función $g$ es continua por ser límite uniforme de funciones continuas. Derivando la igualdad $(2)$ obtenemos $g’=f.$
10. Supongamos que $f_n$ tiende uniformemente hacia una función $f$ en $I.$ Sea $\epsilon>0.$ Existe $n_0$ número natural tal que $$n\geq n_0\Rightarrow \left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon /2\;\;\forall x\in I.$$ Entonces, $$m, n\geq n_0\Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \left|f_m(x)-f(x)\right|<\epsilon /2\ \\\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon /2\ \end{matrix}\right.\;\;\forall x\in I$$ $$\Rightarrow \left|f_m(x)-f_n(x)\right|=\left|f_m(x)-f(x)+f(x)-f_n(x)\right|\;\;\forall x\in I$$ $$\leq \left|f_m(x)-f(x)\right|+\left|f_n(x)-f(x)\right|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon\;\;\forall x\in I.$$ Recíprocamente, supongamos que se verifica la condición del enunciado. Por el criterio de Cauchy ordinario, para todo $x\in I$ la sucesión numérica $f_n(x)$ tiene como límite un número al que llamaremos $f(x).$ Sea $\epsilon>0.$ Por hipótesis existe un número natural $n_0$ tal que $$m,n\geq n_0\Rightarrow \left|f_m(x)-f_n(x)\right|<\epsilon/2\;\;\forall x\in I.$$ Fijemos $x$ en $I$ y $n\geq n_0.$ La igualdad anterior es válida para todo $m\geq n_0,$ por tanto tomando límites cuando $m\to \infty:$ $$\left|f(x)-f_n(x)\right|\leq\epsilon/2<\epsilon\;\;\forall n\geq n_0.\;\forall x\in I.$$ Es decir, $f_n\to f$ uniformemente.