Cuerpo de los números complejos

Demostramos que el conjunto de los números complejos es un cuerpo con las operaciones habituales.

Enunciado
Demostrar que $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo, siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones habituales en $\mathbb{C}.$

Solución
$a)$  $\left(\mathbb{C},+\right)$ es grupo abeliano. En efecto,

$1.$  Interna. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ con $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(\underbrace{x_1+x_2}_{\in\mathbb{R}})+(\underbrace{y_1+y_2}_{\in\mathbb{R}})i\in\mathbb{C}.$$ $2.$  Asociativa. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i,$  $x_3+y_3i\in\mathbb{C}$ con $x_j,y_j\in\mathbb{R},$ y usando la propiedad asociativa de la suma en $\mathbb{R},$ $$\left[(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)\right]+(x_3+y_3i)=\left[(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\right]+(x_3+y_3i)$$ $$=\left((x_1+x_2)+x_3\right)+\left((y_1+y_2)+y_3\right)i=\left(x_1+(x_2+x_3)\right)+\left(y_1+(y_2+y_3)\right)i$$ $$=(x_1+y_1i)+\left[(x_2+x_3)+(y_2+y_3)i\right]=(x_1+y_1i)+\left[(x_2+y_2i)+(x_3+y_3i)\right].$$ $3.$  Existencia de elemento neutro. Para todo $x+yi\in\mathbb{C}$ con $x,y\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x+yi)+(0+0i)=(x+0)+(y+0)i=x+yi,$$ $$(0+0i)+(x+yi)=(0+x)+(0+y)i=x+yi,$$ por tanto $0+0i$ es elemento neutro.

$4.$  Existencia de elemento simétrico. Para todo $x+yi\in\mathbb{C}$ con $x,y\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x+yi)+\left((-x)+(-y)i\right)=\left(x+(-x)\right)+\left(y+(-y)\right)i=0+0i,$$ $$\left((-x)+(-y)i\right)+(x+yi)=\left((-x)+x\right)+\left((-y)+y\right)i=0+0i,$$ por tanto, todo elemento de $\mathbb{C}$ tiene simétrico.

$5.$  Conmutativa. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ con $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ y usando la propiedad conmutativa en $\mathbb{R},$ $$(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$ $$=(x_2+x_1)+(y_2+y_1)i=(x_2+y_2i)+(x_1+y_1i).$$ $b)$ $\left(\mathbb{C},\cdot \right)$ es semigrupo conmutativo y unitario. En efecto,

$1.$  Interna. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ con $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(\underbrace{x_1x_2-y_1y_2}_{\in\mathbb{R}})+(\underbrace{y_1x_2+x_1y_2}_{\in\mathbb{R}})i\in\mathbb{C}.$$ $2.$  Asociativa. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i,$  $x_3+y_3i\in\mathbb{C}$ con $x_j,y_j\in\mathbb{R},$ y usando conocidas propiedades de la suma y del producto en $\mathbb{R},$ $$\left[(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)\right](x_3+y_3i)=\left[(x_1x_2-y_1y_2)+(y_1x_2+x_1y_2)i\right](x_3+y_3i)$$ $$=(x_1x_2x_3-y_1y_2x_3-y_1x_2y_3-x_1y_2y_3)+(x_1x_2y_3-y_1y_2y_3+y_1x_2x_3+x_1y_2x_3)i.$$ Por otra parte $$(x_1+y_1i)\left[(x_2+y_2i)(x_3+y_3i)\right]=(x_1+y_1i)\left[(x_2x_3-y_2y_3)+(y_2x_3+x_2y_3)i\right]$$ $$=(x_1x_2x_3-x_1y_2y_3-y_1y_2x_3-y_1x_2y_3)+(y_1x_2x_3-y_1y_2y_3+x_1y_2x_3+x_1x_2y_3)i.$$ Se verifica la igualdad.

$3.$   Conmutativa. Para todo $x_1+y_1i,$ $x_2+y_2i\in\mathbb{C}$ con $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R},$ $$(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+y_1x_2)i,$$ $$(x_2+y_2i)(x_1+y_1i)=(x_2x_1-y_2y_1)+(y_2x_1+x_2y_1)i.$$ Se verifica la igualdad.

$4.$  Existencia de elemento unidad. Para todo $x+yi\in\mathbb{C}$ con $x,y\in\mathbb{R}$ se verifica $$(x+yi)(1+0i)=(1x-0y)+(1y+0x)i=x+yi,$$ por tanto $1+0i$ es elemento unidad.

$c)$ Distributiva del producto respecto de la suma. Se deja como ejercicio.

$d)$  Todo elemento no nulo de $\mathbb{C}$ tiene inverso. En efecto, si $x+yi\in\mathbb{C}$ con $x,$ $y\in\mathbb{R}$ es no nulo, entonces $x\neq 0$ o $y\neq 0$ con lo cual $x^2+y^2\neq 0.$ Entonces, $$(x+iy)\left(\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\right)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}+\frac{yx-xy}{x^2+y^2}i=1+0i,$$ luego $x+iy$ tiene inverso.

Concluimos que  $\left(\mathbb{C},+,\cdot\right)$ es cuerpo.