Cuerpos $\mathbb{Z}_p$

Proporcionamos ejercicios sobre los cuerpos $\mathbb{Z}_p$.

Enunciado
1. Resolver en el cuerpo $\mathbb{Z}_7$ la ecuación $2x +5=3.$
2. Resolver en el cuerpo $\mathbb{Z}_5$ las ecuaciones:
   $(a)\;x^2+x+3=0.\quad (b)\; x^3+2x^2+4x+3=0.$
3. Resolver en $\mathbb{Z}_5$ el sistema $\left \{ \begin{matrix} 2x+3y=2 \\x+2y=4.\end{matrix}\right.$
4. Sabiendo que el conocido método de los adjuntos para calcular la inversa de una matriz real cuadrada, es también válido para todo cuerpo, hallar en $\mathbb{Z}_7$ la inversa de la matriz $A=\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{bmatrix}.$
5. Demostrar que todo dominio de integridad con un número finito de elementos es un cuerpo.

Solución
1. Sumando $2$ a ambos miembros de la ecuación, queda $2x+0=5,$ es decir, $2x=5.$ Multiplicando por $4$ ambos miembros, queda $1x=6,$ es decir $x=6.$
2. $(a)$ Llamemos $p(x)=x^2+x+3.$ Posibles raíces: $0,1,2,3,4.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& p(0)=3,\quad p(1)=1+1+3=0,\quad p(2)=4+2+3=4.\\
   &p(3)=4+3+3=0,\quad p(4)=1+4+3=3.
   \end{aligned}$$ Las soluciones de la ecuación son $x=1,$ $x=3.$
   $(b)$ Llamemos $p(x)=x^3+2x^2+4x+3.$ Posibles raíces: $0,1,2,3,4.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& p(0)=3,\quad p(1)=1+2+4+3=0,\quad p(2)=3+3+3+3=2.\\
   &p(3)=2+3+2+3=0,\quad p(4)=4+2+1+3=0.
   \end{aligned}$$ Las soluciones de la ecuación son $x=1,$ $x=3,$ $x=4.$
3. Sea $(x,y)$ solución del sistema. Multiplicando a la segunda igualdad por $2:$ $$\left \{ \begin{matrix} 2x+3y=2 \\2x+4y=3.\end{matrix}\right.$$ Restando a la segunda igualdad la primera, obtenemos $y=1.$ Sustituyendo en $x+2y=4,$ queda $x=4-2=2.$ Es decir, si $(x,y)$ es solución del sistema, necesariamente $(x,y)=(2,1).$ Veamos que efectivamente es solución: $$\left \{ \begin{matrix} 2\cdot 2+3\cdot 1=4+3=2 \\2+2\cdot 1=2+2=4.\end{matrix}\right. $$ Concluimos que la única solución del sistema es $(x,y)=(2,1).$
4. Determinante de $A:$ $\det A=2\cdot 4-1\cdot 3=1-3=1+4=5\neq 0.$
   Traspuesta de $A:$ $A^t=\begin{bmatrix}{2}&{1}\\{3}&{4}\end{bmatrix}.$
   Adjunta de $A:$ $\operatorname{Adj} A=\begin{bmatrix}{4}&{-3}\\{-1}&{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{4}&{4}\\{6}&{2}\end{bmatrix}.$
   Inversa de $A:$ $A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{bmatrix}{4}&{4}\\{6}&{2}\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}{4}&{4}\\{6}&{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{5}&{5}\\{4}&{6}\end{bmatrix}.$
   Comprobemos el resultado: $$AA^{-1}=\begin{bmatrix}{2}&{3}\\{1}&{4}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{5}&{5}\\{4}&{6}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3+5}&{3+4}\\{5+2}&{5+3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}=I$$
5. Sea $A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ un dominio de integridad con un número finito de elementos. Dado que $A$ es anillo conmutativo y unitario, para demostrar que $A$ es cuerpo, bastará demostrar que todo elemento no nulo de $A$ tiene elemento inverso. En efecto, sea $a_i$ elemento no nulo de $A$ y consideremos los productos: $a_ia_1,\;a_ia_2,\;\ldots,\;a_ia_n.$
   Se verifica:$$a_ia_j=a_ia_k\Leftrightarrow a_ia_j-a_ia_k=0\Leftrightarrow a_i(a_j-a_k)=0.$$ Como $a_i\neq 0$ y $A$ es dominio de integridad, $a_j-a_k=0,$ luego $a_j=a_k.$ Esto implica que los productos mencionados son distintos dos a dos, o equivalentemente, $A=\{a_ia_1,\;a_ia_2,\;\ldots,\;a_ia_n\}.$ Uno de los anteriores elementos $a_ia_l$ ha de ser igual a $1,$ o sea $a_i$ es invertible. Concluimos que $A$ es un cuerpo.