Derivación de funciones compuestas, regla de la cadena

Publicada el marzo 25, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios sobre la derivación de funciones compuestas y la regla de la cadena.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema  (Regla de la cadena).  Sean $I$, $J$ dos intervalos abiertos de la recta real. Sean las funciones:  $$f:I\to \mathbb{R},\quad g:J\to \mathbb{R}$$ con $f(I)\subset J$ (esto asegura la existencia de $g\circ f$ en $I$, pues si $x\in I$ entonces $f(x)\in J$ y existe $(g\circ f)(x)=g[f(x)]$). Supongamos que $f$ es derivable en $x_0$ y que $g$ es derivable en $f(x_0).$ Entonces, $g\circ f$ es derivable en $x_0$ y además: $$(g\circ f)'(x_0)=g'[f(x_0)]f'(x_0).$$ Si las hipótesis que cumple $x_0$ se cumplen para todo $x\in I$, se verifica que $g\circ f$ es derivable en $I$ y además $$(g\circ f)'(x)=g'[f(x)]f'(x).$$
  • Forma práctica.   Si $y=\varphi (u)$ con $u$ función de $x,$ entonces $y$ es la composición $\varphi \circ u$, con lo cual $y’=\varphi'(u)u’.$ Es decir: $$y=\varphi (u)\Rightarrow y’=\varphi'(u)u’.$$ O de forma equivalente (usando la notación de Leibniz): $$y=\varphi (u)\Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d\varphi}{du}\dfrac{du}{dx}.$$
  • Ejemplo 1.  Si $y=\operatorname{sen}(2x^3+7),$ entonces $y=\operatorname{sen}u$ con $u=2x^3+7.$  Por tanto: $y’=(\cos u)u’=6x^2\cos (2x^3+7).$
  • Ejemplo 2.  Si $y=\sqrt{x^2+e^x}$ entonces $y=\sqrt{u}$ con $u=x^2+e^x.$ Por tanto: $$y’=\frac{1}{2\sqrt{u}}u’=\frac{2x+e^x}{2\sqrt{x^2+e^x}}.$$
  • Ejemplo 3.  Si $y=\log (x^2+3^x)$ entonces: $y’=\dfrac{1}{x^2+3^x}\left(2x+3^x\log 3\right).$
    Enunciado
  1. Calcular $y’$ siendo:
    $(a)\; y=(x^3+5x^2+1)^8.\quad$ $(b)\; y=\operatorname{tg}^7x.\quad $ $(c)\;y=\arctan (\log x).$
  2. Calcular $f'(x)$ siendo:
    $(a)\; f(x)=3^{\cos x}.\quad $ $(b)\; f(x)=\left(\dfrac{1+\log x}{1-\log x}\right)^4.\quad $ $(c)\;f(x)=\sqrt[3]{(x+\operatorname{sen}x)^2}.$
  3. Si $f(x)=x^3+3x^2+2$ y $g(x)=x^6+4,$ calcular $h'(1)$ siendo $h=f\circ g.$
  4. Sea $f$ una función derivable en $\mathbb{R}.$ Demostrar que si $f$ es par, entonces $f’$ es impar y que si $f$ es impar, entonces $f’$ es par.
  5. Si $f(e^x)=\log \sqrt{x}$ y $g(x)=f(x^2+2),$ calcular $g'(2).$
  6. Una función $f$ positiva y derivable en $\mathbb{R}$ cumple $f(\cos x)=\dfrac{1}{f(\operatorname{sen}x)}.$ Hallar $f'(0).$
    Solución
  1. $(a)\; y’=8(x^3+5x^2+1)^7(3x^2+10x).$
    $(b)\;y’=7\left(\operatorname{tg}^6x\right)\sec^2x.$
    $(c)\;y’=\dfrac{1}{1+\log^2x}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{x(1+\log^2x)}.$
  2. $(a)\; f'(x)=-\left(3^{\cos x}\log 3\right)(\operatorname{sen}x).$
    $(b)\;f'(x)=4\left(\dfrac{1+\log x}{1-\log x}\right)^3\;\dfrac{\dfrac{1}{x}(1-\log x)+\dfrac{1}{x}(1+\log x)}{(1-\log x)^2}\\
    =8\left(\dfrac{1+\log x}{1-\log x}\right)^3\dfrac{1}{x(1-\log x)^2}.$
    $(c)$ Podemos expresar $f(x)=(x+\operatorname{sen}x)^{2/3},$ por tanto:
    $f'(x)=\dfrac{2}{3}(x+\operatorname{sen}x)^{-1/3}(1+\cos x)=\dfrac{2}{3}\dfrac{1+\cos x}{\sqrt[3]{x+\operatorname{sen}x}}.$
  3. Por la regla de la cadena, $h'(1)=\left(f\circ g\right)'(1)=f’\left(g(1)\right)g'(1).$ Tenemos que $g(1)=5,$ $f'(x)=3x^2+6x$ y $g'(x)=6x^5.$ Por tanto, $$h'(1)=f’\left(5\right)g'(1)=105\cdot 6=630.$$
  4. Si $f$ es par, entonces $f(-x)=f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f'(-x)(-1)=f'(x).$ Es decir, $f'(-x)=-f'(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ lo cual implica que $f’$ es impar.
    Si $f$ es impar, entonces $f(-x)=-f(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Derivando y usando la regla de la cadena, $f'(-x)(-1)=-f'(x).$ Es decir, $f'(-x)=f'(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$ lo cual implica que $f’$ es par.
  5. Aplicando la regla de la cadena $g'(x)=2xf'(x^2+2).$ Para $x=2,$ tenemos $g'(2)=4f'(6).$ De nuevo, aplicando la regla de la cadena, $$e^xf'(e^x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{2x}.\qquad (1)$$ Ahora bien, $e^x=6$ equivale a $x=\log 6.$ Sustituyendo en $(1):$ $$6f'(6)=\dfrac{1}{2\log 6}\Rightarrow f'(6)=\dfrac{1}{12\log 6}\Rightarrow g'(2)=\dfrac{4}{12\log 6}=\dfrac{1}{3\log 6}.$$
  6. Dado que $f$ es positiva (el denominador nunca se anula), la relación dada equivale a $f(\cos x)f(\operatorname{sen}x)=1.$ Derivando y usando la regla de la cadena: $$f'(\cos x)(-\operatorname{sen}x)f(\operatorname{sen}x)+f(\cos x)f'(\operatorname{sen}x)(\cos x)=0.$$ Sustituyendo $x$ por $0:$ $$f'(1)\cdot 0\cdot f(0)+f(1)\cdot f'(0)\cdot 1=0.$$ Queda $f(1)f'(0)=0.$ Ahora bien, por hipótesis $f(1)\neq 0$ y por tanto $f'(0)=0.$
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