Derivada enésima de la función seno

Demostramos por inducción la fórmula de la derivada enésima de la función seno.

Enunciado
Demostrar por inducción que si  $f(x)=\text{sen }x,$ entonces $$f^{(n)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right),$$ en donde $f^{(n)}(x)$ representa la derivada enésima de $f(x).$

Solución
Recordemos las fórmulas de trigonometría: $$\text{sen }(a+ b)=\text{sen }a\text{ cos }b+\text{cos }a\text{ sen }b,\\
\text{cos }(a- b)=\text{cos }a\text{ cos }b+\text{sen }a\text{ sen }b.$$ De éstas fórmulas deducimos: $$\text{sen }\left(\alpha+ \dfrac{\pi}{2}\right)=\text{sen }\alpha\text{ cos }\dfrac{\pi}{2}+\text{cos }\alpha\text{ sen }\dfrac{\pi}{2}\\
=(\text{sen }\alpha) \cdot 0+(\text{cos }\alpha)\cdot 1=\text{cos }\alpha .\quad (1)
$$ $$\text{cos }\left(\alpha- \dfrac{\pi}{2}\right)=\text{cos }\alpha\text{ cos }\dfrac{\pi}{2}+\text{sen }\alpha\text{ sen }\dfrac{\pi}{2}\\
=(\text{cos }\alpha) \cdot 0+(\text{sen }\alpha)\cdot 1=\text{sen }\alpha .\quad (2)
$$ Demostremos ahora la fórmula del enunciado:

Paso base. Para $n=1$, el primer miembro es $f'(x)=(\text{sen }x)’=\text{cos }x.$ Aplicando $(1)$, obtenemos el segundo miembro: $$\text{sen }\left(x+\dfrac{1\cdot \pi}{2}\right)=\text{sen }\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x.$$ Por tanto, la fórmula es cierta para $n=1$.

Paso de inducción. Sea cierta la fórmula para $n$. Entonces: $$f^{(n+1)}(x)=\left(\ f^{(n)}(x)\right)’=\left(\ \text{sen}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)\right)’\\=\text{cos}\left(x+\dfrac{n\pi}{2}\right)
=\text{cos}\left(x+\dfrac{(n+1)\pi}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right).$$ Aplicando $(2)$ queda:
$$f^{(n+1)}(x)=\text{sen}\left(x+\dfrac{(n+1)\pi}{2}\right).$$ Es decir, la fórmula es válida para $n+1$.