Las siguiente expresiones son formas indeterminadas: $$\frac{0}{0},\;\;\frac{\infty}{\infty},\;\;0\cdot \infty,\;\;\infty-\infty,\;\;0^0,\;\;\infty^0,\;\;1^{\infty}.$$
FORMA $0/0$. Como ya vimos, se puede aplicar la regla de L’Hôpital. Sigue siendo válida si se sustituye $a$ por $+\infty,$ por $-\infty$ o por $\infty.$
Ejemplo 1. $L=\displaystyle\lim_{x\to 5}\dfrac{x^2-25}{x-5}.$ $$L=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 5}\dfrac{2x}{1}=10.$$
FORMA $ \infty/\infty $. Sigue siendo válida la regla de L’Hôpital.
Ejemplo 2. $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{e^{3x}}.$
$$L=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{3e^{3x}}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2}{9e^{3x}}=\frac{2}{+\infty}=0.$$
FORMAS $ 0\cdot \infty,$ $ \infty-\infty $. Se pueden tratar como las anteriores, reduciéndolas a $0/0$ o $\infty/\infty .$
Ejemplo 3. $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}e^{-x}x.$ $$L=\left\{0\cdot\infty\right\}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{e^x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{e^x}=\frac{1}{+\infty}=0.$$
Ejemplo 4. $L=\displaystyle\lim_{x\to 3}\;\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{5}{x^2-x-6}\right).$ $$\begin{aligned}&L=\left\{\infty-\infty\right\}=\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-6x+9}{x^3-4x^2-3x+18}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 3}\dfrac{2x-6}{3x^2-8x-3}\\
&=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 3}\dfrac{2}{6x-8}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.\end{aligned}$$ FORMAS $ 0^0,\;\;\infty^0,\;\;1^{\infty} $ . Para estas formas indeterminadas, podemos aplicar la siguiente propiedad: $$\lambda=\lim_{x\to a}\log f(x)^{g(x)}\Rightarrow L=\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=e^{\lambda}.$$ En el caso particular $1^{\infty},$ también se puede calcular $\lambda$ mediante:
$$\lambda=\lim_{x\to a}\;\left(f(x)-1\right)g(x).$$ Ejemplo 5. $L=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;x^{\frac{1}{x-1}}.$
Cuando $x\to 1,$ $\frac{1}{x-1}\to \infty$, por tanto aparece una indeterminación de la forma $1^{\infty}.$ Tenemos:
$$\begin{aligned}& \lambda=\displaystyle\lim_{x\to 1}\log x^{\frac{1}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\log x}{x-1}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{1/x}{1}=1.
\end{aligned}$$ Entonces, $L=e^1=e.$ Podemos también hallar $\lambda$ de la forma:
$$\lambda=\displaystyle\lim_{x\to 1}\;(x-1)\dfrac{1}{x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 1}1=1.$$ Es decir, $L=e^1=e.$
1 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{8^x-2^x}{4x}.$
$$\begin{aligned}& L=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{8^x\log 8-2^x\log 2}{4}=\dfrac{\log 8-\log 2}{4}\\
&=\dfrac{\log (8/2)}{4}=\dfrac{\log 4}{4}=\dfrac{\log 2^2}{4}=\dfrac{2\log 2}{4}=\dfrac{1}{2}\log 2.
\end{aligned}$$
2 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\log x}{x}.$
$$\begin{aligned}& L=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1/x}{1}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0.
\end{aligned}$$
3 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;(x^2\log x).$
$$\begin{aligned}& L=\left\{0\cdot (-\infty)\right\}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\log x}{1/x^2}=\left\{\frac{-\infty}{+\infty}\right\}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1/x}{-2/x^3}=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^2}{-2}=0.
\end{aligned}$$
4 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{1}{x-2}\right).$
$$\begin{aligned}& L=\{\infty- \infty\}=\displaystyle\lim_{x\to 2}\;\left(\dfrac{4}{x^2-4}-\dfrac{x+2}{x^2-4}\right)=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{2-x}{x^2-4}\\
&=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{-1}{2x}=-\dfrac{1}{4}.
\end{aligned}$$
5 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\;x^x.$
Aparece la indeterminación $0^0.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& \lambda=\lim_{x\to 0^+}\log x^x=\lim_{x\to 0^+}x\log x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\log x}{1/x}=\left\{\frac{-\infty}{+\infty}\right\}\\
&=\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to 0^+}\;(-x)=0.
\end{aligned}$$ Por tanto, $L=e^0=1.$
6 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\;x^{1/x}.$
Aparece la indeterminación $(+\infty)^0.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& \lambda=\lim_{x\to +\infty}\log x^{1/x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\log x}{x}=\left\{\frac{+\infty}{+\infty}\right\}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1/x}{1}=\frac{0}{1}=0.
\end{aligned}$$ Por tanto, $L=e^0=1.$
7 Calcular $L=\displaystyle\lim_{x\to 0}\;(e^x+3x)^{1/x}.$
Aparece la indeterminación $1^{\infty}.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& \lambda=\lim_{x\to 0}\log (e^x+3x)^{1/x}=\lim_{x\to 0}\frac{\log (e^x+3x)}{x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}\\
&=\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{e^x+3}{e^x+3x}}{1}=\lim_{x\to 0}\dfrac{e^x+3}{e^x+3x}=\frac{1+3}{1+0}=4.
\end{aligned}$$ Por tanto, $L=e^4.$ También podemos calcular $\lambda$ de la forma: $$\begin{aligned}& \lambda=\lim_{x\to 0}\;(e^x+3x-1)\frac{1}{x}=\left\{\frac{0}{0}\right\}=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+3}{1}=\frac{1+3}{1}=4.
\end{aligned}$$ Es decir, $L=e^4.$
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