Espacio euclideo, norma

Definimos la norma en un espacio euclídeo y proponemos ejercicios de aplicación.

Enunciado
1. En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\int_0^1p(x)q(x)\;dx,$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$
2. En el espacio euclídeo $\mathbb{R}_2[x]$ dotado del producto escalar $$\left<p(x),q(x)\right>=\sum_{i=0}^2p(i)q(i),$$ determinar la norma del vector $p(x)=-1+2x+3x^2.$
3. En el espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ dotado del producto escalar $$\left<x,y\right>=\begin{pmatrix}x_1,x_2,x_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\\{2}&{5}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\{y_2}\\{y_3}\end{pmatrix}.$$ determinar la norma del vector $x=(1,-1,2).$

Solución
1. Aplicando la definición de norma, $$\left\|p(x)\right\|=\sqrt{\left<p(x),p(x)\right>}=\sqrt{\int_0^1\left(-1+2x+3x^2\right)^2dx}.$$ Calculando la integral del radicando obtenemos el valor $47/15,$ por tanto $$\left\|p(x)\right\|=\sqrt{\frac{47}{15}}.$$
2. Aplicando la definición de norma, $$\left\|p(x)\right\|=\sqrt{\left<p(x),p(x)\right>}=\sqrt{p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2}$$ $$=\sqrt{(-1)^2+4^2+15^2}=\sqrt{242}=11\sqrt{2}.$$
3. El producto escalar $\left<x,x\right>$ es $$\left<x,x\right>=\begin{pmatrix}1,-1,2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{2}&{0}\\{2}&{5}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1,-3,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\{-1}\\{2}\end{pmatrix}=14,$$ luego $\left\|x\right\|=\sqrt{14}.$