Espacio vectorial $\mathbb{K}^n$

Construimos el espacio vectorial $\mathbb{K}^n.$

Enunciado
Sea $\mathbb{K}$ un cuerpo y definamos en $\mathbb{K}^n\;(n\geq 1)$ la operación suma: $$(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n).$$ Definamos además la operación ley externa: $$\lambda (x_1,\ldots,x_n)=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n).$$
1. Demostrar que $\mathbb{K}^n$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con las operaciones anteriormente definidas.
   Nota. Casos particulares importantes de este espacio vectorial son $\mathbb{Q}^n,$ $\mathbb{R}^n,$ $\mathbb{C}^n$ y $(\mathbb{Z}_p)^n$ ($p$ primo).
2. En el espacio vectorial $\mathbb{R}^3,$ se consideran los vectores $x=(0,-1,2)$ e $y=(4,1,2).$ Determinar el vector $z=3x-5y.$

Solución
1. $(i)$ $(\mathbb{K}^n,+)$ es grupo abeliano.
   Interna. Dado que la suma de dos elementos de $\mathbb{K}$ es un elemento de $\mathbb{K},$ la suma de dos elementos de $\mathbb{K}^n$ pertenece a $\mathbb{K}^n.$
   Asociativa. Para todo $(x_1,\ldots,x_n),\;(y_1,\ldots,y_n),\;(z_1,\ldots,z_n)\in \mathbb{K}^n$ y usando la propiedad asociativa de la suma en  $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&(x_1,\ldots,x_n)+\left[(y_1,\ldots,y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\right]\\
   &=(x_1,\ldots,x_n)+(y_1+z_1,\ldots,y_n+z_n)\\
   &=\left(x_1+(y_1+z_1),\ldots,x_n+(y_n+z_n)\right)\\
   &=\left((x_1+y_1)+z_1,\ldots,(x_n+y_n)+z_n\right)\\
   &=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)+(z_1,\ldots,z_n)\\
   &=[(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)]+(z_1,\ldots,z_n).\end{aligned}$$ Conmutativa. Para todo $(x_1,\ldots,x_n),\;(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n$ y usando la propiedad conmutativa de la suma en  $\mathbb{K}:$ $$\begin{aligned}&(x_1,\ldots,x_n)+(y_1,\ldots,y_n)=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\\
   &=(y_1+x_1,\ldots,y_n+x_n)=(y_1,\ldots,y_n)+(x_1,\ldots,x_n).\end{aligned}$$ Elemento neutro. Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ el elemento de $\mathbb{K}^n,$ $0=(0,\ldots,0)$ satisface: $$\begin{aligned}&0+x=x+0=(x_1,\ldots,x_n)+(0,\ldots,0)\\
   &=(x_1+0,\ldots,x_n+0)=(x_1,\ldots,x_n)=x.\end{aligned}$$ Elemento simétrico. Para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{K}^n,$ el elemento de $\mathbb{K}^n,$ $-x=(-x_1,\ldots,-x_n)$ satisface: $$\begin{aligned}&(-x)+x=x+(-x)=(x_1,\ldots,x_n)+(-x_1,\ldots,-x_n)\\
   &=(x_1+(-x_1),\ldots,x_n+(-x_n))=(0,\ldots,0)=0.\end{aligned}$$ Concluimos que $(\mathbb{K}^n,+)$ es grupo abeliano.

   $(ii)$ Se satisfacen los cuatro axiomas de ley externa. En efecto, para todo $(x_1,\ldots,x_n),$ $(y_1,\ldots,y_n)\in \mathbb{K}^n,$ para todo $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ y usando conocidas propiedades de $\mathbb{K}:$

   $\begin{aligned}&(a)\; \lambda(x+y)=\lambda (x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)= \lambda(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)\\
   &=\left((\lambda(x_1+y_1),\ldots,\lambda (x_n+y_n)\right)=(\lambda x_1+\lambda y_1,\ldots,\lambda x_n+\lambda y_n)\\
   &=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)+(\lambda y_1,\ldots,\lambda y_n)=\lambda (x_1,\ldots, x_n)+ \lambda(y_1,\ldots,y_n)\\
   &=\lambda x+\lambda y.
   \end{aligned}$
   $\begin{aligned}&(b)\; (\lambda+\mu)x= (\lambda+\mu) (x_1,\ldots,x_n)=\left((\lambda+\mu)x_1,\ldots,(\lambda+\mu)x_n\right)\\
   &=\left(\lambda x_1+\mu x_1,\ldots,\lambda x_n+\mu x_n\right)=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)+(\mu x_1,\ldots,\mu x_n)\\
   &=\lambda(x_1,\ldots, x_n)+\mu (x_1,\ldots,x_n)=\lambda x+ \mu x.
   \end{aligned}$
   $\begin{aligned}&(c)\; (\lambda\mu)x= (\lambda\mu) (x_1,\ldots,x_n)=\left((\lambda\mu)x_1,\ldots,(\lambda\mu)x_n\right)\\
   &=\left(\lambda (\mu x_1),\ldots,\lambda (\mu x_n)\right)=\lambda(\mu x_1,\ldots,\mu x_n)\\
   &=\lambda\left(\mu (x_1,\ldots, x_n)\right)=\lambda (\mu x).
   \end{aligned}$
   $\begin{aligned}&(d)\; 1x= 1 (x_1,\ldots,x_n)=\left(1x_1,\ldots,1x_n\right)=\left(x_1,\ldots,x_n\right)=x.
   \end{aligned}$

   Concluimos que $\mathbb{K}^n$ es espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$ con las operaciones dadas.

2. Usando las conocidas operaciones suma y ley externa: $$\begin{aligned}& z=3x-5y=3(0,-1,2)-5(4,1,2)\\
   &=(0,-3,6)+(-20,-5,-10)=(-20,-8,-4).
   \end{aligned}$$