Familia de funciones de clase 1

Estudiamos una familia de funciones de clase 1.

Enunciado
Sea $C$ el conjunto de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ de clase $1$ y que cumplen las condiciones siguientes:
$$\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(f(x))\cdot f'(x)=1,\quad f'(0)>0,\quad f(1)=1.$$ Se pide:
1. Comprobar que la función identidad $I$ pertenece a $C.$
2. Verificar que $f\in C\Rightarrow f\circ f=I.$
3. Demostrar que $f\in C\Rightarrow f$ es creciente.
4. Demostrar que $I$ es el único elemento de $C.$

   (Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. La función identidad es $I(x)=x,\; \forall x\in\mathbb{R}.$ Dado que $I'(x)=1$ para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica: $$\forall x\in\mathbb{R}\quad I'(I(x))\cdot I'(x)=I'(x)\cdot 1=1\cdot 1=1,\quad I'(0)=1>0,\quad I(1)=1.$$ Es decir,  $f\in C.$
2. Por el teorema de la derivada de la función compuesta, $(f\circ f)'(x)=f'(f(x))\cdot f'(x).$ Por las hipótesis dadas, $(f\circ f)'(x)=1$ lo cual implica que $f\circ f$ ha de ser de la forma $(f\circ f)(x)=x+k$ con $k$ constante. Usando la condición $f(1)=1,$ obtenemos $(f\circ f)(1)=f[f(1)]=f(1)=1.$ Por otra parte: $$(f\circ f)(1)=f[f(1)]=f(1+k)=(1+k)+k=1+2k.$$ Es decir, $1=1+2k$ o equivalentemente $k=0,$ por tanto, $f\circ f=I.$
3. De la condición $\forall x\in\mathbb{R}\quad f'(f(x))\cdot f'(x)=1,$ deducimos que $f'(x)\neq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}.$ Como $f’$ es continua en $\mathbb{R},$ se verifica $f'(x)>0\quad \forall x\in\mathbb{R}$ o bien $f'(x)<0\quad \forall x\in\mathbb{R}$ (en caso contrario iría en contradicción con el teorema de Bolzano). Dado que $f'(0)>0$ ha de ser necesariamente $f'(x)>0\quad \forall x\in\mathbb{R}$ lo cual implica que $f$ es creciente (estrictamente) en $\mathbb{R}.$
4. Sea $f\in C,$ veamos que para todo $x\in\mathbb{R}$ se verifica $f(x)=x.$ En efecto, usando los apartados 2. y 3. tenemos $$x>f(x)\Rightarrow f(x)>f(f(x))=(f\circ f)(x)=I(x)=x\mbox{ (absurdo)},$$$$x<f(x)\Rightarrow f(x)<f(f(x))=(f\circ f)(x)=I(x)=x\mbox{ (absurdo)}.$$ Para todo $x\in\mathbb{R}$ no puede ocurrir ni $x>f(x)$ ni $x<f(x)$ y por tanto ha de ser necesariamente $f(x)=x\;\forall x\in\mathbb{R}.$ Concluimos que $C=\{I\}.$