Fórmula de Cauchy-Hadamard

Demostramos la fórmula de Cauchy-Hadamard y proporcionamos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Demostrar el teorema de Cauchy-Hadamard:
   Sea la serie entera compleja $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ y $\rho$ su radio de convergencia. Entonces $$\frac{1}{\rho}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}.$$
2. Usando la fórmula de Cauchy-Hadamard hallar el radio de convergencia de la serie
   $\qquad\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_nz^n\;,\quad a_{2n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n},\quad a_{2n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1}.$

Solución
1. Recordamos que $$\limsup_{n\to +\infty}x_n=\lim_{p\to +\infty}\left(\sup\{x_n:n\geq p\}\right)$$ para $x_n$ sucesión de números reales. Sea la serie de términos positivos:$$\sum_{n= 0}^{+\infty}u_n.\qquad (1)$$ $i)$ Veamos que si $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}<1,$ la serie $(1)$ converge. En efecto, sea $r$ fijo tal que $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}<r<1.$ Entonces, para $n$ suficientemente grande, $$\sup\{u_m^{1/m}:m\geq n\}<r.$$ Tenemos: $$\sup\{u_m^{1/m}:m\geq n\}<r\Rightarrow u_m^{1/m}<r\Rightarrow u_m<r^m.$$ Como $|r|=r<1,$ la correspondiente serie geométrica es convergente, luego también lo es la serie $(1).$
   $ii)$ Veamos que si $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n} > 1,$ la serie $(1)$ diverge. En efecto, sea $r$ fijo tal que $\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}u_n^{1/n}>r>1.$ Entonces, y razonando de manera análoga a $i),$ para $n$ suficientemente grande, se verifica $u_m>r^m.$ Como $|r|=r>1,$ la correspondiente serie geométrica es divergente, luego también lo es la serie $(1).$
   Consideremos ahora la serie $$\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n.\qquad (2)$$ Entonces, si $\rho\neq 0$ y $\rho\neq +\infty:$ $$\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_nz^n\right|^{1/n}=\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}\left|z\right|=\left|z\right|\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}<1$$ $$\Leftrightarrow \left|z\right|<\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}}.$$ Por tanto, la serie $(2)$ es absolutamente convergente si, y sólo si se verifica la última desigualdad, en consecuencia $$\rho=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to +\infty}\;\left|a_n\right|^{1/n}}.$$ Los casos $\rho= 0$ y $\rho= +\infty$ son triviales.
2. Usamos la propiedad de que el límite superior de una sucesión es el supremo de los límites de las subsucesiones convergentes. En nuestro caso es claro que los límites de las subsucesiones convergentes de $\left|a_n\right|^{1/n}$ son $$\lim_{n\to +\infty}\left|a_{2n}\right|^{1/(2n)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{2}=\frac{1}{2},$$ $$\lim_{n\to +\infty}\left|a_{2n+1}\right|^{1/(2n+1)}=\lim_{n\to +\infty}\dfrac{1}{3}=\frac{1}{3}.$$ En consecuencia, $$\frac{1}{\rho}=\limsup_{n\to +\infty} \;\left|a_n\right|^{1/n}=\sup \{1/2,1/3\}=1/2,$$ por tanto el radio de convergencia es $\rho=2.$