Fórmula de Taylor

Publicada el marzo 11, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios de aplicación de la fórmula de Taylor.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Sea $f:I\to \mathbb{R}$ una función definida en un intervalo $I$ de la recta real. Si existen todas las derivadas hasta orden $n$ en $I$ y estas son continuas, se dice que $f$ es de clase $n$ en $I.$ Al conjunto de todas las funciones clase $n$ en $I$ se le representa por $\mathcal{C}^n(I).$
  • Teorema (de Taylor). Sea $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ una función con derivadas en todo punto del intervalo cerrado $[a,b]$ hasta orden $n+1,$ y todas ellas continuas, es decir supongamos que $f\in \mathcal{C}^{n+1}([a,b]).$ Sea $x_0\in [a,b]$ fijo entonces, para todo $x\in [a,b]$ se verifica: $$f(x)=p(x)+R_n(x).\qquad (1)$$ siendo $p(x)$ el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ en $x_0$ y $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}\;\; (\xi\text{ comprendido entre }x\text{ y }x_0).$$
  • A la fórmula $(1)$ se la llama fórmula de Taylor de orden $n$ de la función $f$ en $x_0$, y al sumando $R_n(x),$ término complementario, resto, o error de orden $n$ en $x_0.$ Si $x_0=0,$ al a la fórmula de Taylor se la llama fórmula de Maclaurin.
  • Ejemplo. Escribamos la fórmula de Maclaurin de orden $n=4$ para $f(x)=e^x.$ Tenemos $$\begin{aligned}&f(x)=e^x\Rightarrow f(0)=1\\ &f'(x)=e^x\Rightarrow f'(0)=1,\\ &f^{\prime\prime}(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=1,\\ &f^{\prime\prime\prime}(x)=e^x\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(0)=1,\\ &f^{(4)}(x)=e^x\Rightarrow f^{(4)}(0)=1,\\ &f^{(5)}(x)=e^x\Rightarrow f^{(5)}(\xi)=e^{\xi}.\end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned}e^x &= f(0)+ \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\dfrac{f^{(5)}(\xi)}{5!} x^{5}\\ &=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{e^{\xi} x^5}{5!}\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$
    Enunciado
  1. Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $2$ para las funciones:
    $(a)\;f(x)=\sqrt{1+x}.\quad (b)\;g(x)=\sqrt[3]{1+x}.$
  2. Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $5$ para la función $f(x)=\operatorname{sen}x.$
  3. Escribir la fórmula de Taylor de orden $3$ en $x_0=4$ para la función $f(x)=\sqrt{x}.$
  4. Escribir la fórmula de Maclaurin de orden $n$ para la función $f(x)=\log (1+x).$
    Solución
  1. $(a)$ Derivamos hasta orden $3$: $$\begin{aligned}&f(x)=(1+x)^{1/2}\Rightarrow f(0)=1,\\
    &f'(x)=\dfrac{1}{2}(1+x)^{-1/2}\Rightarrow f'(0)=\dfrac{1}{2},\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{4}(1+x)^{-3/2}\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{1}{4},\\
    &f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{3}{8}(1+x)^{-5/2}\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(\xi)=\dfrac{3}{8(1+\xi)^2\sqrt{1+\xi}}.
    \end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned} \sqrt{1+x}&= f(0)+ \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+ \dfrac{f^{\prime\prime\prime}(\xi)}{3!}x^3\\
    &=1+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{8}x^2+\dfrac{1}{16(1+\xi)^2\sqrt{1+\xi}}x^3,\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$
    $(b)$ Tenemos: $$\begin{aligned}&g(x)=(1+x)^{1/3}\Rightarrow g(0)=1,\\&g'(x)=\dfrac{1}{3}(1+x)^{-2/3}\Rightarrow g'(0)=\dfrac{1}{3},\\
    &g^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{2}{9}(1+x)^{-5/3}\Rightarrow g^{\prime\prime}(0)=-\dfrac{2}{9},\\
    &g^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{10}{27}(1+x)^{-8/3}\Rightarrow g^{\prime\prime\prime}(\xi)=\dfrac{10}{27(1+\xi)^2\sqrt[3]{(1+\xi)^2}}.
    \end{aligned}$$ Por tanto, $$\begin{aligned} \sqrt[3]{1+x}&= g(0)+ \dfrac{g'(0)}{1!}x + \dfrac{g^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+ \dfrac{g^{\prime\prime\prime}(\xi)}{3!}x^3\\
    &=1+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{9}x^2+\dfrac{5}{81(1+\xi)^2\sqrt[3]{(1+\xi)^2}}x^3,\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$
  2. Tenemos: $$\begin{aligned}&f(x)=\operatorname{sen} x\Rightarrow f(0)=0,\\
    &f'(x)=\cos x\Rightarrow f'(0)=1,\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-\operatorname{sen}x\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=0,\\
    &f^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos x\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(0)=-1,\\
    &f^{(4)}(x)=\operatorname{sen}x\Rightarrow f^{(4)}(0)=0,\\
    &f^{(5)}(x)=\cos x\Rightarrow f^{(5)}(0)=1,\\
    &f^{(6)}(x)=-\operatorname{sen}x\Rightarrow f^{(6)}(\xi)=-\operatorname{sen}\xi .
    \end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned} \operatorname{sen}x&= f(0)+ \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+ \cdots +\dfrac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5+\dfrac{f^{(6)}(\xi)}{6!}x^6\\
    &=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{\operatorname{sen}\xi}{6!},\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$
  3. Para todo $x>0:$ $$\begin{aligned}
    &f(x)=x^{1/2}\Rightarrow f(4)=2,\\
    &f'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}\Rightarrow f'(4)=\dfrac{1}{4},\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{1}{4}x^{-3/2}\Rightarrow f^{\prime\prime}(4)=-\dfrac{1}{32},\\
    &f^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{3}{8}x^{-5/2}\Rightarrow f^{\prime\prime\prime}(4)=\dfrac{3}{256},\\
    &f^{(4)}(x)=-\dfrac{15}{16}x^{-7/2}\Rightarrow f^{(4)}(\xi)=-\dfrac{15}{16\xi^3\sqrt{\xi}}.
    \end{aligned}$$ Entonces, $$\begin{aligned} \sqrt{x}&= f(4)+ \dfrac{f'(4)}{1!}(x-4) + \dfrac{f^{\prime\prime}(4)}{2!}(x-4)^2+ \dfrac{f^{\prime\prime\prime}(4)}{3!}(x-4)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-4)^4\\
    &=2+\dfrac{1}{4}(x-4)-\dfrac{1}{64}(x-4)^2+\dfrac{1}{512}(x-4)^3-\dfrac{5(x-4)^4}{128\xi^3\sqrt{\xi}},\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $4$ y $x.$
  4. Hallemos las primeras derivadas de $f:$ $$\begin{aligned}&f(x)=\log (1+x)\Rightarrow f(0)=0,\\
    &f'(x)=(x+1)^{-1}\Rightarrow f'(0)=1=0!,\\
    &f^{\prime\prime}(x)=-(x+1)^{-2}\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=-1!,\\
    &f^{(3)}(x)=2(x+1)^{-3}\Rightarrow f^{(3)}(0)=2!,
    \\&f^{(4)}(x)=-2\cdot 3\;(x+1)^{-4}\Rightarrow f^{(4)}(0)=-3!,\\
    &f^{(5)}(x)=2\cdot 3\cdot 4\;(x+1)^{-5}\Rightarrow f^{(5)}(0)=4!.\end{aligned}$$ Fácilmente podemos demostrar por inducción que $$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(x+1)^{-n},$$ por tanto: $$f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!\;,\quad f^{(n+1)}(\xi)=\dfrac{(-1)^{n}n!}{(\xi +1)^{n+1}}.$$ Entones, $$\begin{aligned}\log (1+x) = f(0)+ \dfrac{f'(0)}{1!}x + \dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+ +\cdot + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}\\
    =x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^5}{5}-\cdots +\dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}+\dfrac{(-1)^nx^{n+1}}{(n+1)(\xi +1)^{n+1}},\end{aligned}$$ estando $\xi$ comprendido entre $0$ y $x.$
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