Función exponencial compleja

Publicada el agosto 5, 2014 por Fernando Revilla

Definimos la función exponencial compleja y estudiamos alguna de sus propiedades.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición.  Para todo $z=x+iy\in\mathbb{C}$ con $x\in\mathbb{R},$ $y\in\mathbb{R}$ se define $$e^z=e^x(\cos y+i\operatorname{sen}y).$$ A la función  $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C},\; f(z)=e^z$ se la llama función exponencial compleja.
  • Nota.  Si  $z=x\in\mathbb{R}$ obtenemos  $f(x)=e^x(\cos 0+i\operatorname{sen}0)=e^x,$ es decir la función exponencial compleja generaliza la función exponencial real .
  • Propiedades
    1.  $\;f(z)=e^z$ es derivable en  $\mathbb{C}$ y  $f'(z)=e^z$ para todo  $z\in\mathbb{C}.$
    2.  Para todo  $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica  $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$
    3.  Para todo  $z\in\mathbb{C}$ se verifica  $\left|e^z\right|=e^x.$
    4.  Para todo  $z\in\mathbb{C}$ y para todo  $k\in\mathbb{Z}$ se verifica  $e^{z+2k\pi i}=e^z.$
    Enunciado
  1. Demostrar que para todo $z_1,z_2\in\mathbb{C}$ se verifica $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$ y $e^{z_1}/e^{z_2}=e^{z_1-z_2}.$
  2. Demostrar que para todo $z\in\mathbb{C}, \;k\in\mathbb{Z}$ se verifica $\left|e^z\right|=e^x$ y $e^{z+2k\pi i}=e^z.$
  3. Determinar los valores de $z\in\mathbb{C}$ para los cuales $(a)\;\;e^{3z}=1,\; (b)\;\; e^{4z}=i.$
    Solución
  1. Sean $z_1=x_1+iy_1,$ $z_2=x_2+iy_2$ expresados en forma binómica. Entonces, $$e^{z_1}e^{z_2}=e^{x_1}(\cos y_1+i\operatorname{sen}y_1)\cdot e^{x_2}(\cos y_2+i\operatorname{sen}y_2)$$ $$=e^{x_1}e^{x_2}\left[(\cos y_1\cos y_2-\operatorname{sen}y_1\operatorname{sen}y_2)+i(\cos y_1\operatorname{sen}y_2+\operatorname{sen}y_1\cos y_2)\right]$$ $$=e^{x_1+x_2}\left[\cos(y_1+y_2)+i\operatorname{sen}(y_1+y_2)\right]=e^{z_1+z_2}.$$ Por otra parte $$\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=\frac{e^{x_1}(\cos y_1+i\operatorname{sen}y_1)}{ e^{x_2}(\cos y_2+i\operatorname{sen}y_2)}.$$ Multiplicando numerador y denominador por $\cos y_2-i\operatorname{sen}y_2:$ $$\frac{e^{z_1}}{e^{z_2}}=\frac{e^{x_1}}{e^{x_2}}\frac{(\cos y_1\cos y_2+\operatorname{sen}y_1\operatorname{sen}y_2)+i(-\cos y_1\operatorname{sen}y_2+\operatorname{sen}y_1\cos y_2)}{1}$$ $$=e^{x_1-x_2}\left[\cos(y_1-y_2)+i\operatorname{sen}(y_1-y_2)\right]=e^{z_1-z_2}.$$
  2. El número $e^z=e^x(\cos y+i\operatorname{sen}y)$ está expresado en fforma trigonométrica, en consecuencia su módulo es $\left|e^z\right|=e^x.$
    Por otra parte, $e^{z+2k\pi i}=e^ze^{2k\pi i}=e^z\cdot e^0(\cos 2k\pi+i\operatorname{sen}2k\pi)=e^z\cdot 1=e^z.$
  3. $(a)\;$ Tenemos $$e^{3z}=1\Leftrightarrow e^{3x}(\cos 3y+i\sin 3y)=1(\cos 0+i\sin 0) \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{3x}=1\\3y=2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0\\y=2k\pi/3,\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow z=\dfrac{2k\pi}{3}i,\;k\in\mathbb{Z}.$$ $(b)\;$ Análogamente $$e^{4z}=i\Leftrightarrow e^{4x}(\cos 4y+i\sin 4y)=1(\cos \pi/2+i\sin \pi/2) \Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} e^{4x}=1\\4y=\pi/2+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \left \{ \begin{matrix} x=0\\y=\pi/8+k\pi/2,\;k\in\mathbb{Z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow z=\dfrac{1}{8}\pi i+\dfrac{1}{2}k\pi i,\;k\in\mathbb{Z}.$$
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