Funciones homogéneas, teorema de Euler

Demostramos el teorema de Euler para funciones homogéneas y damos un ejemplo de aplicación.

Enunciado
1. Demostrar que la función  $f(x,y)=\sqrt[3]{x^5+y^5}$ es homogéna y determinar su grado.
2. Calcular  $\;\displaystyle x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$
   (a) Por derivación directa.
   (b) Usando el teorema de Euler.
3. Demostrar el teorema de Euler para funciones homogéneas:
   Sea  $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ diferenciable y homogénea de grado $\alpha\in\mathbb{R}.$ Entonces, para todo $x=(x_1,\ldots,x_n)$ se verifica $$x\cdot \nabla f(x)=\alpha f(x),$$ o de manera equivalente $$ x_1\frac{\partial f}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial f}{\partial x_2}+\cdots+x_n\frac{\partial f}{\partial x_n}=\alpha f(x).$$

Solución
1. Para todo $t\in\mathbb{R}$ y para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ se verifica $$f(tx,ty)=\sqrt[3]{t^5x^5+t^5y^5}=\sqrt[3]{t^5(x^5+y^5)}=\sqrt[3]{t^5}\sqrt[3]{x^5+y^5}=t^{5/3}f(x,y),$$ por tanto la función es homogénea de grado $\alpha=5/3.$
2. (a)  Escribiendo $f(x,y)=\left(x^5+y^5\right)^{1/3},$ $$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=x\left(\frac{1}{3}\left(x^5+y^5\right)^{-2/3}5x^4\right)+y\left(\frac{1}{3}\left(x^5+y^5\right)^{-2/3}5y^4\right)$$ $$=\frac{5}{3}\left(x^5+y^5\right)^{-2/3}\left(x^5+y^5\right)=\frac{5}{3}\left(x^5+y^5\right)^{1/3}=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^5+y^5}.$$ (b)  La función es homogénea de grado $\alpha=5/3.$ Usando el teorema de Euler $$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=\alpha f(x,y)=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^5+y^5}.$$
3. Fijemos  $x\in\mathbb{R}^n$ y consideremos la función  $\varphi:\mathbb{R}_{>0}\to \mathbb{R}^n $ definida por $\varphi (t)=f(tx),$ es decir $\varphi (t)=t^{\alpha}f(x).$ Derivando directamente obtenemos la matriz jacobiana de la transformación $\varphi,$ es decir $$\varphi'(t)=\alpha t^{\alpha-1}f(x).\qquad (1)$$ Por otra parte, y usando la regla de la cadena, $$\varphi'(t)=f'(tx)\cdot x=\nabla f(tx)\cdot x.\qquad (2)$$ Identificando $(1)$ y $(2)$ y particularizando en $t=1$ obtenemos $$\nabla f(x)\cdot x=\alpha f(x).$$