Homomorfismos entre cuerpos

Demostramos propiedades de los homomorfismos entre cuerpos.

RESUMEN TEÓRICO
  • Definición. Sean $(\mathbb{K},+,\cdot),$  $(\mathbb{L},+,\cdot)$ cuerpos. Una aplicación $f:\mathbb{K}\to \mathbb{L}$ se dice que es homomorfismo entre cuerpos, si y sólo si $f$ es un homomorfismo entre los anillos $(\mathbb{K},+,\cdot)$ y $(\mathbb{L},+,\cdot)$ con imagen no trivial, es decir $\operatorname{Im}f\neq \{0\}.$
  • Observaciones. De acuerdo con la definición anterior,
    1. $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{K},+)$ y $(\mathbb{L},+).$
    2. $f$ es homomorfismo entre los grupos $(\mathbb{K}^*=\mathbb{K}-\{0\},\cdot)$ y $(\mathbb{L}^*=\mathbb{L}-\{0\},\cdot).$
  • Teorema. Sea $f:\mathbb{K}\to \mathbb{L}$ un homomorfismo de cuerpos. Entonces,
    $a)$ $f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a),$ $\forall a\in \mathbb{K}.$
    $b)$ $f(1)=1$ y $f(a^{-1})=f(a)^{-1},$ $\forall a\in \mathbb{K},\;a\neq 0.$
    $c)$ $\operatorname{Im}f$ es un subcuerpo de $\mathbb{L}.$
    $d)$ $f$ es  inyectivo.
    Enunciado
    Sea $f:\mathbb{K}\to \mathbb{L}$ un homomorfismo de cuerpos. Demostrar que:
  1. $\;f(0)=0$ y $f(-a)=-f(a),$ $\forall a\in \mathbb{K}.$
  2. $\;f(1)=1$ y $f(a^{-1})=f(a)^{-1},$ $\forall a\in \mathbb{K},\;a\neq 0.$
  3. $\;\operatorname{Im}f$ es un subcuerpo de $\mathbb{L}.$
  4. $\;f$ es  inyectivo.
    Solución
  1. Se deduce del hecho de ser $f$ un homomorfismo entre los grupos aditivos de $\mathbb{K}$ y de $\mathbb{L}.$
  2. Se deduce del hecho de ser $f$ un homomorfismo entre los grupos multiplicativos de $\mathbb{K}^*=\mathbb{K}-\{0\}$ y de $\mathbb{L}^*=\mathbb{L}-\{0\}.$
  3. $\; f$ es un homomorfismo entre los anillos $\mathbb{K}$ y $\mathbb{L},$ por tanto $\operatorname{Im}f$ es un subanillo de $\mathbb{L},$ y al ser $\mathbb{L}$ anillo conmutativo, también lo es $\operatorname{Im}f.$ Además $1=f(1)\in \operatorname{Im}f,$ luego $\operatorname{Im}f$ es también unitario. Falta demostrar que para todo $b\in\operatorname{Im}f$ con $b\neq 0,$ su inverso $b^{-1}$ pertenece a $ \operatorname{Im}f .$  En efecto, si $b\in \operatorname{Im}f$ con $b\neq 0,$ entonces $b=f(a)$ para algún $a\neq 0$ en $\mathbb{K}$ (si fuera $a=0,$  $f(a)$ sería $0$). Por tanto, $b^{-1}=f(a)^{-1}=f(a^{-1})\in \operatorname{Im}f.$
  4. $\;f$ es un homomorfismo entre los anillos $\mathbb{K}$ y $\mathbb{L},$ por tanto $\ker f$ es un ideal de $\mathbb{K}.$ Al ser $\mathbb{K}$ un cuerpo, sus únicos ideales son $\{0\}$ y $\mathbb{K}.$ Si fuera $\ker f=\mathbb{K},$ entonces $f$ sería el homomorfismo nulo, o sea $\operatorname{Im}f= \{0\},$ en contradicción con la definición de homomorfismo entre cuerpos. Ha de ser por tanto $\ker f=\{0\},$ lo cual implica que $f$ es inyectivo.
Esta entrada ha sido publicada en Álgebra y etiquetada como , . Guarda el enlace permanente.