Integración de funciones irracionales (2)

Publicada el abril 30, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • $(a)$ Integrales del tipo $$\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}.$$ Para resolver estas integrales, basta descomponer el trinomio en la forma $$ax^2+bx+c=a(x+k)^2+l,$$
    y aplicar alguna de las fórmulas: $$\begin{aligned}&(i)\;\int \frac{u’dx}{\sqrt{u^2+a}}=\log \lvert u+\sqrt{u^2+a}\rvert+C\quad (a\neq 0).\\
    &(ii)\;\int \frac{u’dx}{\sqrt{a^2-u^2}}=\operatorname{arcsen}\frac{u}{a}+C\quad (a\neq 0).
    \end{aligned}$$ Ejemplo.  Calcular $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{2+3x-2x^2}}.$
    Expresando $-2x^2+3x+2=-2(x+k)^2+l=-2x^2-4kx-2k^2+l,$ e identificando coeficientes obtenemos $-2=-2,$ $3=-4k$ y $2=-2k^2+l.$ Resolviendo obtenemos $k=-3/4$ y $l=25/8,$ por tanto: $$2+3x-2x^2=\frac{25}{8}-2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2=\left(\frac{5}{\sqrt{8}}\right)^2-\left(\sqrt{2}\left(x-\frac{3}{4}\right)\right)^2.$$ Entonces, aplicando la fórmula $(ii):$ $$\begin{aligned}&\int \frac{dx}{\sqrt{2+3x-2x^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{\sqrt{2}\;dx}{\sqrt{\left(\frac{5}{\sqrt{8}}\right)^2-\left(\sqrt{2}\left(x-\frac{3}{4}\right)\right)^2}}\\
    &=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arcsen}\frac{\sqrt{2}\left(x-\frac{3}{4}\right)}{\frac{5}{\sqrt{8}}}+C=\frac{1}{\sqrt{2}}\operatorname{arcsen}\frac{4x-3}{5}+C.\end{aligned}$$
  • $(b)$ Integrales del tipo $$\displaystyle\int\frac{mx+n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$$ La derivada de $ax^2+bx+c$ es $2ax+b.$ Expresemos: $$mx+n=\alpha(2ax+b)+\beta.$$ Identificando coeficientes, obtenemos $m=2\alpha a,$ $n=\alpha b+\beta$, con lo cual, $\alpha=m/2a$ y $\beta=(2na-mb)/2a.$ Entonces, $$\begin{aligned}&\int\frac{mx+n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=\int\frac{\frac{m}{2a}(2ax+b)+\frac{2na-mb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\\
    &=\frac{m}{2a}\int\frac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx+\frac{2na-mb}{2a}
    \int\frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}.\end{aligned}$$ La primera integral es inmediata, y la segunda es del tipo $(a).$
  • $(c)$ Integrales del tipo $$\displaystyle\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}}.$$ El cambio de variable $t=\dfrac{1}{mx+n},$ las reduce al tipo anterior.
    Enunciado
  1. Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+6}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{x+3}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx.$$
  2. Calcular las integrales: $$I_1=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-2x-x^2}},\quad I_2=\displaystyle\int\frac{2x-3}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx.$$
  3. Calcular $I=\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{1-x^2}}.$
  4. Se consideran las integrales: $$I=\int\frac{dx}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}},\quad J=\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{Ax^2+Bx+C}},$$ con $m\neq 0.$ Demostrar que la sustitución $t=\dfrac{1}{mx+n},$ transforma las integrales del tipo $I$ en integrales del tipo $J.$
    Solución
  1. Podemos expresar $x^2+2x+6=(x+1)^2+5.$ Usando $$\int \frac{u’dx}{\sqrt{u^2+a}}=\log \lvert u+\sqrt{u^2+a}\rvert+C,$$ $$I_1=\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+5}}=\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+6}\rvert+C.$$ La derivada de $x^2+2x+6$ es $2x+2.$ Expresemos $x+3=\alpha (2x+2)+\beta.$ Identificando coeficientes obtenemos $\alpha=1/2$ y $\beta=2.$ Entonces, $$\begin{aligned}& I_2=\int\frac{\frac{1}{2}(2x+2)+2}{\sqrt{x^2+2x+6}}dx=\int\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+6}}dx+2I_1\\
    &=\sqrt{x^2+2x+6}+2\log \lvert x+1+\sqrt{x^2+2x+6}\rvert+C.
    \end{aligned}$$
  2. Expresando $1-2x-x^2=2-(x+1)^2$ y usando $$\displaystyle\int \frac{u’dx}{\sqrt{a^2-u^2}}=\operatorname{arcsen}\frac{u}{a}+C,$$ $$I_1=\int\frac{dx}{\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-(x+1)^2}}=\operatorname{arcsen}\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C.$$ La derivada de $1-2x-x^2$ es $-2x-2.$ Expresemos $2x-3=\alpha (-2x-2)+\beta.$ Identificando coeficientes obtenemos $\alpha=-1$ y $\beta=-5.$ Entonces,$$\begin{aligned}& I_2=\int\frac{-(-2x-2)-5}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx=-\int\frac{-2x-2}{\sqrt{1-2x-x^2}}dx-5I_1\\
    &=-2\sqrt{1-2x-x^2}-5\operatorname{arcsen}\frac{x+1}{\sqrt{2}}+C.
    \end{aligned}$$
  3. Efectuando la sustitución $t=\dfrac{1}{x},$ $dt=-\dfrac{1}{x^2}dx=-t^2\;dx$ y $x=\dfrac{1}{t}.$ Entones, $$\begin{aligned}& I=\int\frac{\frac{dt}{-t^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}}=-\int\frac{dt}{t\sqrt{\frac{t^2-1}{t^2}}}=-\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}\\
    &-=\log \left\lvert t+\sqrt{t^2-1}\right\rvert+C.
    \end{aligned}$$ Sustituyendo $t=1/x:$ $$\begin{aligned}&I=-\log \left\lvert \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right\rvert+C=-\log \left\lvert \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right\rvert+C\\
    &=\log \left\lvert \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right\rvert+C.
    \end{aligned}$$
  4. Despejando $x$ en $t=\dfrac{1}{mx+n}$ y diferenciando: $$x=\frac{1-nt}{mt},\quad dt=-\frac{m}{(mx+n)^2}dx=-mt^2dx.$$ Entonces, $$\begin{aligned}& I=\int\frac{\frac{dt}{-mt^2}}{\frac{1}{t}\sqrt{a\left(\frac{1-nt}{mt}\right)^2+b\left(\frac{1-nt}{mt}\right)+c}}=-\frac{1}{m}\int\frac{dt}{t\sqrt{\frac{a(1-nt)^2+b(1-nt)mt+cm^2t^2}{m^2t^2}}}\\
    &=-\int\frac{dt}{\sqrt{a(1-nt)^2+b(1-nt)mt+cm^2t^2}}.
    \end{aligned}$$ El radicando es de la forma $At^2+Bt+C,$ en consecuencia obtenemos una integral del tipo $J.$
Esta entrada ha sido publicada en Análisis real y complejo y etiquetada como , , , . Guarda el enlace permanente.