Integración de funciones racionales (3)

Publicada el abril 26, 2014 por Fernando Revilla
RESUMEN TEÓRICO
  • Vimos como se integraban las funciones racionales cuando todas las raíces del denominador $Q(x)$ eran reales. Supongamos que no todas las raíces de $Q(x)$ son reales. Entonces, $Q(x)$ sería el producto de polinomios de la forma $(x-x_i)^n$ y de la forma $(ax^2+bx+c)^m$ siendo $ax^2+bx+c$ polinomio de segundo grado sin raíces reales (es decir, irreducible en $\mathbb{R}).$
  • En tal caso, para la fracción racional propia $f(x)=P(x)/Q(x)$ correspondiente, se demuestra que existe una descomposición en suma de fracciones simples análoga a la ya vista. Sin embargo, ahora por cada polinomio irreducible de segundo grado que aparezca en el denominador $Q(x)$ hay que poner un polinomio de primer grado en el numerador, en vez de una constante.
  • El siguiente ejemplo ilustra (sin pérdida de generalidad), como efectuar tal descomposición.
    Ejemplo.  Supongamos que $f(x)=P(x)/Q(x)$ es una fracción racional propia tal que $$Q(x)=(x+1)(x-2)^3(x^2+1)(x^2+x+1)^2.$$ Los polinomios de segundo grado $x^2+1$ y $x^2+x+1$ no tienen raíces reales. La descomposición de $f(x)$ en suma de fracciones simples sería: $$\begin{aligned}& \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}+\frac{D}{(x-2)^3}+\frac{Ex+F}{x^2+1}\\
    &+\frac{Gx+H}{x^2+x+1}+\frac{Ix+J}{(x^2+x+1)^2}.
    \end{aligned}$$ Nótese que las integrales del tipo $$\int \frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx,$$ con $ax^2+bx+c$ sin raíces reales, ya las sabemos calcular.
  • Quedaría para completar el estudio de la integración de funciones racionales, como calcular las integrales del tipo: $$\int \frac{Mx+N}{(ax^2+bx+c)^m}dx,$$ con $ax^2+bx+c$ sin raíces reales y $m>1.$
    Enunciado
  1. Calcular $\displaystyle\int \frac{dx}{x^3-1}.$
  2. Calcular $I=\displaystyle\int \frac{x\;dx}{x^4-2x^3+2x^2-2x+1}.$
    Solución
  1. El denominador tiene la raíz $x=1.$ Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$ y el polinomio $x^2+x+1$ no tiene raíces reales. La descomposición en suma de fracciones simples es:$$\begin{aligned}&\frac{1}{x^3-1}=\frac{1}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\\
    &=\frac{A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $1,$ $0$ y $-1:$ $$ \begin{aligned}&x=1\Rightarrow 1=3A\\
    &x=0\Rightarrow 1=A-C.\\
    &x=-1\Rightarrow 1=A+(-B+C)(-2).\end{aligned}$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $A=1/3,$ $B=-1/3$ y $C=-2/3.$ Entonces, $$\begin{aligned}& \int \frac{dx}{x^3-1}=\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}-\frac{1}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx\\
    &=\frac{1}{3}\log \lvert x-1 \rvert -\frac{1}{3}\int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx.\qquad (1)
    \end{aligned}$$ Calculemos la última integral. La derivada de $x^2+x+1$ es $2x+1.$ Escribamos $x+2=\alpha (2x+1)+\beta.$ Identificando coeficientes, obtenemos $1=2\alpha$ y $2=\alpha+\beta,$ con lo cual $\alpha=1/2$ y $\beta=3/2.$ Tenemos: $$\begin{aligned}& \int\frac{x+2}{x^2+x+1}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}dx+\frac{3}{2}\int\frac{dx}{x^2+x+1}\\
    &=\frac{1}{2}\log \lvert x^2+x+1 \rvert+\frac{3}{2}\int\dfrac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}.\qquad (2)
    \end{aligned} $$ Por otra parte: $$\begin{aligned}& \int\dfrac{dx}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\int\frac{dx}{\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+1}=\frac{4}{3}\int\frac{dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)^2+1}\\
    &=\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)\right)^2+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}\left(x+\frac{1}{2}\right)+C.\qquad (3)
    \end{aligned} $$ Usando $(1),$ $(2),$ y $(3):$ $$\int \frac{dx}{x^3-1}=\frac{1}{3}\log \lvert x-1\rvert-\frac{1}{6}\log \lvert x^2+x+1\rvert-\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x+1}{\sqrt{3}}+C.$$
  2. El denominador tiene la raíz $x=1.$ Aplicando la regla de Ruffini, obtenemos la descomposición: $$x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x-1)^2(x^2+1),$$ y el polinomio $x^2+1$ no tiene raíces reales. La descomposición en suma de fracciones simples es: $$\begin{aligned}&\frac{1}{(x-1)^2(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}\\
    &=\frac{A(x-1)(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)}.\end{aligned}$$ Igualando numeradores y dando a $x$ los valores $1,$ $0,$ $-1$ y $2:$ $$ \begin{aligned}&x=1\Rightarrow 1=2B\\
    &x=0\Rightarrow 0=-A+B+D.\\
    &x=-1\Rightarrow -1=-4A++2B+4(-C+D).\\
    &x=2\Rightarrow 2=5A+5B+2C+D.
    \end{aligned}$$ Resolviendo el sistema, obtenemos $A=0,$ $B=1/2,$ $C=0$ y $D=-1/2.$ Entonces, $$\begin{aligned}& I=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x-1)^2}-\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^2+1}=-\frac{1}{2(x+1)}-\dfrac{1}{2}\arctan x+C.
    \end{aligned}$$
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