El conjunto de las fracciones diádicas en $[0,1]$ es denso

Demostramos que el conjunto de las fracciones diádicas es denso en el intervalo $[0,1]$.

Enunciado
Sea  $\mathcal{D}$ el conjunto de las fracciones diádicas (fracciones cuyos denominadores son potencias naturales de $2$) en el intervalo $[0,1].$ Es decir $$\mathcal{D}=\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{16},\ldots,\frac{15}{16},\ldots\right\}.$$ Demostrar que $\mathcal{D}$ es denso en $[0,1],$ i.e. $\overline{\mathcal{D}}=[0,1].$

Solución
Como $\mathcal{D}\subset [0,1]$ y $[0,1]$ es cerrado, se verifica $\overline{\mathcal{D}}\subset [0,1]$ pues $\overline{\mathcal{D}}$ es el menor de los cerrados que contiene a $\mathcal{D}.$

Veamos ahora que $[0,1]\subset \overline{\mathcal{D}}.$ Es suficiente demostrar que para todo $a\in [0,1],$ cualquier intervalo $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ con $\epsilon>0$ contiene un punto de $\mathcal{D}.$

Dado que $\lim \;(1/2^n)=0,$ existe una potencia $q=2^{n_0}$ tal que $0<1/q<\epsilon.$ Consideremos ahora los intervalos $$\left[0,\frac{1}{q}\right],\;\left[\frac{1}{q},\frac{2}{q}\right],\;\left[\frac{2}{q},\frac{3}{q}\right],\;\ldots,\;\left[\frac{q-2}{q},\frac{q-1}{q}\right],\;\left[\frac{q-1}{q},1\right].$$ Como $[0,1]$ es la unión de los intervalos anteriores, el punto $a$ pertenece a alguno de ellos;  llamémosle $\left[\frac{m}{q},\frac{m+1}{q}\right].$ Es decir, se verifica $\frac{m}{q}\le a\le \frac{m+1}{q}.$ Ahora bien, como $1/q<\epsilon,$ $$a-\epsilon<\frac{m}{q}\le a<a+\epsilon.$$ Esto implica que el punto $m/q$ de $\mathcal{D}$ pertenece al intervalo $(a-\epsilon,a+\epsilon)$ y queda demostrado que $\mathcal{D}$ es denso en $[0,1].$