$n^5-n$ es divisible por 30

Proporcionamos un sencillo ejercicio de divisibilidad.

Enunciado
Demostrar que para todo entero $n,$ el número $n^5-n$ es divisible por $30.$

Solución
Podemos expresar $n^5-n$ en la forma $$n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)=(n-1)n(n+1)(n^2+1).$$ Al menos uno de los tres enteros consecutivos $n-1,$ $n,$ $n+1$ es divisible por $2$ y al menos uno entre $3,$ luego $(n-1)n(n+1)$ es divisible por $6.$

Por otra parte $n^2+1$ es divisible por $5$ sii $n^2-4$ lo es. Pero $n^2-4=(n+2)(n-2),$ en consecuencia $$(n-1)n(n+1)(n^2+1)\text{ es divisible por }5$$ $$\Leftrightarrow (n-1)n(n+1)(n+2)(n-2)\text{ es divisible por }5.$$ El último producto es el producto de cinco números consecutivos, luego es divisible por $5.$ Concluimos pues que $30\mid n^5-n$ para todo entero $n.$