Proyección ortogonal en $\mathbb{R}_2[x]$

Calculamos una proyección ortogonal en el espacio $\mathbb{R}_2[x]$ con un producto escalar dado por una integral.

Enunciado
En el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual que 2 se define el producto escalar

$\langle p,q\rangle=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}p(x)q(x)\;dx.$

1. Hallar el coseno del ángulo que forman los vectores $p_1=x$ y $p_2=x^2.$
2. Ortonormalizar la base $B=\{1,x,x^2\}$ por el método de Schmidt.
3. Hallar la proyección ortogonal del vector $x^2$ sobre el subespacio $M$ engendrado por $1$ y $x.$
4. Determinar la distancia mínima de $x^2$ al subespacio $M.$

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. Industriales, UPM).

Solución
1. Dado que la integral está definida en el intervalo simétrico $[-1,1],$ esta será nula para cualquier función impar. Tenemos $<p_1,p_2>=(1/2)\int_{-1}^{1}x^3dx=0.$ Al ser $p_1$ y $p_2$ no nulos, sus normas no son nulas y en consecuencia, el coseno del ángulo que forman estos dos vectores es

$\cos \alpha=\displaystyle\frac{\langle p_1,p_2\rangle}{ \left\|{p_1}\right\| \left\|{p_2}\right\|}=0.$

2. Dada una base $B=\{u_1,u_2,u_3\}$ de un espacio euclídeo $E$ sabemos que la ortonormalizada por el método de Gram-Schmidt viene dada por $$e_1=\displaystyle\frac{u_1}{ \left\|{u_1}\right\|},\;e_2=\dfrac{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}{ \left\|{u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1}\right\|},$$ $$e_3=\dfrac{u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1}{ \left\|{ u_3-\langle u_3,e_2\rangle e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1 }\right\|}.$$ Procedemos a efectuar los cálculos para $u_1=1,\;u_2=x,\;u_3=x^2$

$$\left\|{u_1}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1dx}=1\Rightarrow e_1=1,$$ $$u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1=x-\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^1xdx\right)\cdot 1=x$$ $$\Rightarrow \left\|{x}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow e_2=\sqrt{3}x,$$ $$u_3-<u_3,e_2>e_2-\langle u_3,e_1\rangle e_1=x^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1}^1x^3dx\right)\cdot \sqrt{3}x-$$ $$
\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx\right)\cdot 1=x^2-\frac{1}{3}\Rightarrow \left\|{x^2-\frac{1}{3}}\right\|=\sqrt{\frac{1}{2}\int_{-1}^1\left(x^2-\frac{1}{3}\right)^2dx}$$ $$=\frac{2}{3\sqrt{5}}\Rightarrow e_3=(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3).$$ La base pedida es por tanto $B’=\{1, \;\sqrt {3}x,\;(3\sqrt{5}/2)(x^2-1/3)\}.$

3. Una base del subespacio $M$ es $\{1,x\},$ y de los cálculos efectuados en el apartado anterior deducimos que una base ortonormal de $M$ es $\{1,\sqrt{3}x\}.$ Por un conocido teorema, la proyección de ortogonal de $x^2$ sobre $M$ es

$$p=\langle x^2,1\rangle 1+<x^2,\sqrt{3}x>\sqrt{3}x=\left(\frac{1}{2}\int_{-1}^1x^2dx\right)\cdot 1$$ $$-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\int_{-1}^1x^3dx\right)\sqrt{3}x=\dfrac{1}{3}.$$

4. La mínima distancia de un vector a un subespacio sabemos que es la distancia del vector a su proyección ortogonal sobre el subespacio. Es decir

$$d(x^2,M)=d\left(x^2,\frac{1}{3}\right)= \left\|{x^2-\frac{1}{3}}\right\|=\sqrt{ \frac{1}{2}\int_{-1}^1(x^2-1/3)^2dx }=\dfrac{2}{3\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{15}.$$