Realificación de un espacio vectorial complejo

Estudiamos la realificación de un espacio vectorial complejo.

Enunciado
Sea $E$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ al que denotamos por $E(\mathbb{C}).$ Se define el espacio realificado de $E(\mathbb{C})$ y se denota por $E(\mathbb{R})$ al espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ obtenido al sustituir en el producto por escalares en $E,$ el cuerpo $\mathbb{C}$ por el cuerpo $\mathbb{R}.$ Demostrar que si $E(\mathbb{C})$ es de dimensión finita $n,$ entonces $E(\mathbb{R})$ es de dimensión $2n.$

Solución
Sea $B=\{u_1,\ldots,u_n\}$ una base de $E(\mathbb{C}).$ Veamos que una base de $E(\mathbb{R})$ es $B’=\{u_1,\ldots,u_n,iu_1,\ldots,iu_n\},$ lo cual probará que $\dim E(\mathbb{R})=2n.$

$i)$ $B’$ es sistema libre en $E(\mathbb{R})$. En efecto, supongamos que $$\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_nu_n+\beta_1 (iu_1)+\cdots+\beta_n(iu_n)=0\text{ con los }\alpha_k,\beta_k \text{ reales.}$$ Entonces, $(\alpha_1+i\beta_1)u_1+\cdots+(\alpha_n+i\beta_n)u_n=0.$ Ahora bien, como $B$ es sistema libre en $E(\mathbb{C}),$ se verifica $\alpha_k+i\beta_k=0$ para todo $k=1,\ldots,n$ lo cual implica $\alpha_k=\beta_k=0$ para todo $k=1,\ldots,n$

$ii)$ $B’$ es sistema generador en $E(\mathbb{R}).$ En efecto, sea $x\in E.$ Como $B$ es sistema generador en $E(\mathbb{C})$ existen escalares $\alpha_k+i\beta_k$ con los $\alpha_k,$ $\beta_k$ reales tales que $$x=(\alpha_1+i\beta_1)u_1+\cdots+(\alpha_n+i\beta_n)u_n,$$ es decir $x=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_nu_n+\beta_1 (iu_1)+\cdots+\beta_n(iu_n)$ con los $\alpha_k,$ $\beta_k$ reales.