Suma directa de subespacios

Proponemos ejercicios de suma directa de subespacios.

Enunciado
1. Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^2$ dados por $F_1=\{(\alpha,0):\alpha\in\mathbb{R}\}$ y $F_2=\{(0,\beta):\beta\in\mathbb{R}\}.$ Demostrar que $\mathbb{R}^2=F_1\oplus F_2.$
2. Sea $\mathbb{K}^{n\times n}$ el espacio vectorial real usual de las matrices cuadradas de orden $n$ sobre el cuerpo $\mathbb{K}.$ Sean $\mathcal{S}$ y $\mathcal{A}$ los subespacios de $\mathbb{K}^{n\times n}$ formados por las matrices simétricas y antisimétricas respectivamente. Demostrar que si $\operatorname{carac}(\mathbb{K})\neq 2,$ entonces $\mathbb{K}^{n\times n}=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A}.$
3. Sea $E=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial real usual de las funciones $f$ de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y sean los subespacios de $E$: $$\mathcal{P}=\{f\in E : f(-x)=f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones pares e $$\mathcal{I}=\{f\in E : f(-x)=-f(x)\;\;\forall x\in \mathbb{R}\}$$ formado por las funciones impares. Demostrar que $E=\mathcal{P}\oplus\mathcal{I}$.
4. Demostrar que las tres siguientes afirmaciones son equivalentes
   $(a)$ $E=F_1\oplus F_2 \oplus \ldots \oplus F_m.$
   $(b)$ $E=F_1+F_2 + \ldots + F_m$ y la descomposición de todo vector $x\in E$ en la forma $x=v_1+v_2+\ldots+v_m$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots,m$ es única.
   $(c)$ $E=F_1+ F_2 + \ldots + F_m$ y la igualdad $v_1+v_2+\ldots+v_m=0$ con $v_i\in F_i$ para todo $i=1,\ldots ,m$ implica $v_i=0$ para todo $i=1,\ldots ,m.$
5. Se consideran los subespacios de $\mathbb{R}^3$ dados por $F_1=\{(\alpha,0,0):\alpha\in\mathbb{R}\},$ $F_2=\{(0,\beta,0):\beta\in\mathbb{R}\}$ y $F_3=\{(0,0,\gamma):\gamma\in\mathbb{R}\}$ Demostrar que $\mathbb{R}^3=F_1\oplus F_2\oplus F_3.$
6. Sea $E$ el espacio vectorial real de las funciones reales definidas sobre $[0,1]$. Sean por otra parte los subespacios de $E$ $$\begin{aligned}& F_1=\{\;f\in E: f \text{ es nula fuera de }[0,1/3]\;\},\\
   &F_2=\{\;f\in E: f \text{ es nula fuera de }(1/3,2/3)\;\},\\
   &F_3=\{\;f\in E: f \textrm{ es nula fuera de }[2/3,1]\;\}.
   \end{aligned}$$ Demostrar que $E=F_1\oplus{F_2}\oplus{F_3}.$
7. Sea $E$ el espacio vectorial de las funciones reales y continuas en el intervalo cerrado $[a,b].$ Se consideran los subconjuntos de $ E $ dados por $$F=\{f\in E : \int_a^bf(t)\;dt=0\},\quad G=\{f\in E: f\text { es constante}\}.$$ $(a)$ Demostrar que $F$ y $G$ son subespacios de $E$.
   $(b)$ Demostrar que $F$ y $G$ son suplementarios en $E$.
   (Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. Industriales, UPM).
8. Sea $V=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ el espacio vectorial de las funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}.$ Se consideran los subespacios de $V:$ $$ U_1=\{f\in V:f(0)=f(1)=0\},\\
   U_2=\{f\in V:f(x)=ax+b,\;a,b\in\mathbb{R}\}.$$ Demostrar que $U_1$ y $U_2$ son suplementarios.
9. Sea $p_1(x)\in\mathbb{R}[x]$ un polinomio de grado $\geq 1.$ Se consideran los subespacios vectoriales de $\mathbb{R}[x]:$ $$\begin{aligned}
   &F_1=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]:p(x)\text{ es múltiplo de }p_1(x)\},\\
   &F_2=\{p(x)\in\mathbb{R}[x]:\operatorname{grado}p(x)<\operatorname{grado}p_1(x)\}.
   \end{aligned}$$ Demostrar que $\mathbb{R}[x]=F_1\oplus F_2.$

Solución
1. Si $x=(x_1,x_2)\in F_1\cap F_2,$ entonces $x\in F_1$ y $x\in F_2,$ por tanto $x_2=0$ y $x_1=0$ lo cual implica que $x=0.$ Hemos demostrado que $F_1\cap F_2=\{0\}.$
   Sea ahora $x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2,$ entonces podemos expresar: $$x=(x_1,x_2)=(x_1,0)+(0,x_2).$$ Como $(x_1,0)\in F_1$ y $(0,x_2)\in F_2,$ $x\in F_1+F_2.$ Hemos demostrado que $\mathbb{R}^2=F_1+F_2.$
2. Ver Suma directa de la matrices simétricas y antisimétricas.
3. Ver Suma directa de las funciones pares e impares.
4. Ver Caracterización de la suma directa de subespacios.
5. Todo vector $x=(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3$ se puede expresar en la forma:$$x=(x_1,x_2,x_3)=(x_1,0,0)+(0,x_2,0)+(0,0,x_3),$$y dado que $(x_1,0,0)\in F_1,$ $(0,x_2,0)\in F_2$ y $(0,0,x_3)\in F_3,$ se verifica $\mathbb{R}^3=F_1+ F_2+F_3.$
   Sean ahora, $v_1=(\alpha,0,0)\in F_1,$ $v_2=(0,\beta,0)\in F_2$ y $v_3=(0,0,\gamma)$ tales que $v_1+v_2+v_3=0.$ Entonces, $$\begin{aligned}&v_1+v_2+v_3=0\Rightarrow (\alpha,\beta,\gamma)=(0,0,0)\\
   &\Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0\Rightarrow v_1=v_2=v_3=0.
   \end{aligned}$$ Concluimos que $\mathbb{R}^3=F_1\oplus F_2\oplus F_3.$
6. Sea $f\in E$ y consideremos las funciones $f_i:[0,1]\to \mathbb{R}$ $$f_1(x)=\left \{ \begin{matrix}{ f(x)}&\mbox{ si }& x\in [0,1/3]\\0 & \mbox{si}& x\not\in [0,1/3],\end{matrix}\right.$$ $$ f_2(x)=\left \{ \begin{matrix}{ f(x)}&\mbox{ si }& x\in (1/3,2/3)\\0 & \mbox{si}& x\not\in (1/3,2/3),\end{matrix}\right.$$ $$f_3(x)=\left \{ \begin{matrix}{ f(x)}&\mbox{ si }& x\in [2/3,1]\\0 & \mbox{si}& x\not\in [2/3,1).\end{matrix}\right.$$ Claramente $f_i\in F_i$ para todo $i=1,2,3$ y $f=f_1+f_2+f_3$ es decir, $E=F_1+{F_2}+{F_3}.$ Por otra parte, de la igualdad $f_1+f_2+f_3=0$ con $f_i\in F_i$ con $i=1,2,3$ fácilmente deducimos que $f_1=f_2=f_3=0.$ Concluimos pues que $E=F_1\oplus{F_2}\oplus{F_3}.$[
7. $(a)$ El vector cero de $E$ es la función $0:[a,b]\to \mathbb{R}$ definida mediante $0(t)=t$ para todo $t\in\mathbb{R}$ y sabemos que es continua. Además $\int_a^b0\;dt=0$, es decir, $0\in F.$ Por otra parte, para $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ y para $f,g\in F$ sabemos que $\lambda f+\mu g$ es continua. Además $$\displaystyle\int_a^b(\lambda f(t)+\mu g(t))\;dt=\lambda \displaystyle\int_a^b f(t)\;dt+\mu \displaystyle\int_a^b g(t)\;dt=\lambda 0+\mu 0=0,$$ es decir $\lambda f+\mu g\in F.$ Concluimos que $F$ es subespacio de $E.$ La función cero es constante, las funciones constantes son continuas y cualquier combinación lineal de funciones constante es constante. En consecuencia $G$ es subespacio de $E.$
   $(b)$ Veamos que $F\cap G=\{0\}.$ Efectivamente, si $f\in F\cap G$ entonces $f\in F$ y $f\in G$ lo cual implica $\int_a^bf(t)\;dt=0$ y $f(t)=k$ (constante). Pero $\int_a^bk\;dt=k(b-a)=0.$ Como $b-a\neq 0$ se concluye que $f(t)=k=0.$
   Veamos ahora que $E=F+G.$ Sea $f\in E$ y escribamos $f=(f-k)+k$ con $k$ constante. Las funciones $f-k$ y $k$ son continuas y $k\in G.$ Basta imponer que $f-k\in F:$ $$f-k\in F\Leftrightarrow \displaystyle\int_a^b(f(t)-k)dt=0\Leftrightarrow\displaystyle\\\displaystyle\int_a^bf(t)dt=k(b-a)\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^bf(t)dt.$$ Eligiendo el $k$ anterior, se verifica $f=(f-k)+k$ con $f-k\in F$ y $k\in G\:.$ Hemos demostrado que $F\cap G=\{0\}$ y $E=F+G,$ es decir que $F$ y $G$ son suplementarios en $E.$
8. Si $f\in U_1\cap U_2,$ entonces $f\in U_1$ y $f\in U_2.$ Por pertenecer a $U_2,$ $f$ es de la forma $f(x)=ax+b$ con $a,b\in\mathbb{R}.$ Por pertenecer a $U_1,$ se verifica $f(0)=0$ y $f(1)=0,$ es decir $0=b$ y $a+b=0,$ luego $a=b=0.$ La función $f$ es por tanto la función nula de $V.$ Hemos demostrado que $U_1\cap U_2=\{0\}.$
   Sea $f\in V.$ Podemos expresar:$$f(x)=\left(f(x)-ax-b\right)+(ax+b).$$ El sumando $ax+b$ pertenece a $U_2$ para cualquier par $a,b\in \mathbb{R}.$ Veamos si existen $a$ y $b$ de tal manera que el primer sumando $g(x)=f(x)-ax-b$ pertenezca a $U_1.$ Para ello se ha de verificar $g(0)=g(1)=0,$ o de forma equivalente, $$\left \{ \begin{matrix} f(0)-b=0\\f(1)-a-b=0,\end{matrix}\right.$$que proporciona los valores $a=f(1)-f(0)$ y $b=f(0).$ Es decir, todo vector de $V$ es suma de uno de $U_1$ y otro de $U_2$ o equivalentemente $V=U_1+U_2.$ Concluimos que $U_1$ y $U_2$ son suplementarios.
9. Sea $p(x)\in F_1\cap F_2.$ Entonces, por pertenecer a $F_1,$ existe $q(x)\in\mathbb{R}[x]$ tal que $p(x)=q(x)p_1(x).$ Por pertenecer a $F_2,$ $\operatorname{grado}p(x)<\operatorname{grado}p_1(x).$ Necesariamente ha de ser $q(x)=0,$ pues si no fuera así, tendríamos $\operatorname{grado}p(x)\geq\operatorname{grado}p_1(x),$ lo cual es absurdo. Por tanto $p(x)=0p_1(x)=0.$ Hemos demostrado que $F_1\cap F_2=\{0\}.$
   Sea $p(x)\in \mathbb{R}[x].$ Efectuando la división euclídea de $p(x),$ podemos expresar:$$p(x)=q(x)p_1(x)+r(x) (\operatorname{grado}r(x)<\operatorname{grado}p_1(x)),$$con $q(x),r(x)\in\mathbb{R}[x].$ Pero $q(x)p_1(x)\in F_1$ y $r(x)\in F_2,$ luego $\mathbb{R}[x]=F_1+ F_2.$ Concluimos que $\mathbb{R}[x]=F_1\oplus F_2.$