Superficies de revolución

Proporcionamos ejercicios de cálculo de ecuaciones de las superficies de revolución.

Enunciado
1. Hallar la ecuación de la superficie de revolución obtenida a girar la recta $x=z,$ $y=z$ alrededor del eje $OZ.$
2. Hallar la ecuación cartesiana de la superficie obtenida al girar la recta $C:x=1,$ $y=2$ alrededor del eje $r:x=y=z.$

Solución
Recordamos que una superficie de revolución es la superficie $S$ obtenida al girar una curva $C$ llamada generatriz alrededor de una recta fija $r$ llamada eje. Supongamos que $$C:\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & f(x,y,z)=0\\& g(x,y,z)=0 ,\end{aligned}\end{matrix}\right.\quad r:\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$$ Las esferas con centro $(x_0,y_0,z_0)$ tienen por ecuación $$(X-x_0)^2+(Y-y_0)^2+(Z-z_0)^2=\lambda,$$ y las circunferencias con centro un punto del eje y que son perpendiculares al eje son de la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & (X-x_0)^2+(Y-y_0)^2+(Z-z_0)^2=\lambda\\& aX+bY+cZ=\mu .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ La superficie $S$ está formada por las circunferencias anteriores y que además cortan a la curva generatriz $C.$ Obligando a que esto ocurra, obtendremos una relación entre $\lambda$ y $\mu,$ que sustituidos por sus valores, nos dará la ecuación de $S.$ $\;\square$
1. En nuestro caso, las circunferencias con centro un punto del eje y que son perpendiculares al eje son de la forma $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X^2+Y^2+Z^2=\lambda\\& Z=\mu .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la generatriz $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 3Z^2=\lambda\\& Z=\mu ,\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ y eliminando $Z$ obtenemos $\lambda-3\mu^2=0.$ La ecuación de la superficie pedida es por tanto $$X^2+Y^2-2Z^2=0.$$
2. Las circunferencias con centro un punto del eje y perpendiculares al eje son $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & X^2+Y^2+Z^2=\lambda\\& X+Y+Z=\mu .\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ Obligando a que corten a la generatriz $$\left \{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & 5+Z^2=\lambda\\& 3+Z=\mu ,\end{aligned}\end{matrix}\right.$$ y eliminando $Z$ obtenemos $\lambda-5=(\mu-3)^2.$ La ecuación de la superficie de revolución pedida es pedida es por tanto $$X^2+Y^2+Z^2-5=(X+Y+Z-3)^2,$$ y operando queda $XY+XZ+YZ-3X-3Y-3Z+7=0.$