Teorema de la base incompleta

Damos ejemplos de aplicación del teorema de la base incompleta.

Enunciado
1. Dados los vectores de $\mathbb{R}^4,$ $v_1=(2,-1,3,4)$ y $v_2=(0,5,1,-1),$ completarlos con otros dos para formar una base de $\mathbb{R}^4.$
2. Sea $B=\{u_1,\ldots,u_r,u_{r+1},\ldots,u_n\}$ base de un espacio vectorial $E.$ Demostrar que $$E=\langle u_1,\ldots,u_r\rangle\oplus\langle u_{r+1},\ldots,u_n \rangle.$$
3. En el espacio vectorial $\mathbb{R}^4,$ hallar un subespacio suplementario de $\langle (2,-1,3,4),(0,5,1,-1)\rangle.$
4. Determinar los valores de $a\in\mathbb{R}$ para los cuales $\mathbb{R}^4=F\oplus G,$ siendo $$F=\langle (2,1,-1,1),(2,3,4,-0),(1,1,1,1)\rangle \text{ y }G=\langle (2,-1,3,a)\rangle.$$

Solución
1. Por conocidas propiedades de la dimensión, cuatro vectores linealmente independientes en un espacio vectorial de dimensión $4$ forman base. Dado que el rango del sistema $\{v_1,v_2\}$ claramente es $2,$ bastará añadir a $v_1$ y $v_2,$ otros dos vectores $v_3$ y $v_4$ de tal manera que el rango del sistema $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ sea $4.$ Existen infinitas maneras de elegir $v_3$ y $v_4.$ Por ejemplo,$$\operatorname{rg}\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{3}&4\\{0}&{5}&{-1}&1\\{0}&{0}&{1}&0\\ 0&0&0&1\end{bmatrix}=4,$$ en consecuencia, si $v_3=(0,0,1,0)$ y $v_4=(0,0,0,1)$ entonces, $B=\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ es base de $\mathbb{R}^4.$
2. Llamemos $F=\langle u_1,\ldots,u_r\rangle$ y $G=\langle u_{r+1},\ldots,u_n \rangle.$ Sea $x\in F\cap G,$ entonces $x\in F$ y $x\in G,$ por tanto,$$\begin{aligned}& \exists \lambda_1,\ldots, \lambda_r \text{ escalares}: x=\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ru_r\\
   &\exists \lambda_{r+1},\ldots, \lambda_{n} \text{ escalares}: x=\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots+\lambda_nu_n.\end{aligned}$$Restando las igualdades anteriores queda $$\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ru_r+(-\lambda_{r+1})u_{r+1}+\cdots+(-\lambda_n)u_n=0.$$ Dado que $B$ es sistema libre, necesariamente $\lambda_1=\ldots=\lambda_r=-\lambda_{r+1}=\ldots=-\lambda_n=0,$ lo cual implica que $x=0u_1+\cdots+0u_r=0.$ Hemos demostrado que $F\cap G=\{0\}.$ Sea ahora $x\in E,$ dado que $B$ es sistema generador de $E,$ existen escalares $\lambda_1,\ldots, \lambda_r,$ $\lambda_{r+1},\ldots, \lambda_{n} $ tales que $$x=\lambda_1u_1+\cdots+ \lambda_ru_r+\lambda_{r+1}u_{r+1}\cdots +\lambda_{n}u_n.$$ Ahora bien, $\lambda_1u_1+\cdots+\lambda_ru_r\in F$ y $\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots+\lambda_nu_n,$ luego $x\in F+G.$ Hemos demostrado que $E=F+G.$ Concluimos que $E=F\oplus G.$
3. De los dos apartados anteriores, deducimos de manera inmediata que un subespacio suplementario del dado es $\langle (0,0,1,0),(0,0,0,1)\rangle.$
4. Hallemos unas bases de $F$ y $G.$ Tenemos: $$\operatorname{rg}\begin{bmatrix}{2}&{1}&{-1}&1\\{2}&{3}&{4}&0\\1&{1}&{1}&1\end{bmatrix}=\ldots=3,\quad \operatorname{rg}\begin{bmatrix}{2}&{-1}&{3}&a\end{bmatrix}=1,$$ luego $B_F=\{ (2,1,-1,1),(2,3,4,-0),(1,1,1,1)\}$ y $B_G=\{ (2,-1,3,a)\}$ son bases de $F$ y $G$ respectivamente. Por otra parte, $$\det \begin{bmatrix}{2}&{1}&{-1}&1\\{2}&{3}&{4}&0\\1&{1}&{1}&1\\{2}&{-1}&{3}&a\end{bmatrix}=\ldots=a-29.$$Si $a\neq 29,$ entonces la unión de $B_F$ con $B_G$ es una base de $\mathbb{R}^4,$ y por tanto $\mathbb{R}^4=F\oplus G.$ Si $a=29,$ el vector $(2,-1,3,a)$ pertenece a $F$ y a $G,$ luego $F\cap G\neq \{0\}.$ Concluimos que $\mathbb{R}^4=F\oplus G$ $\Leftrightarrow$ $a\neq 29.$