Un misterio de tiempo y aritmética

Por Fernando Revilla

        Cualquier persona con uso de razón entiende el significado del siguiente enunciado:
Si alguien viaja en un cohete de alta velocidad envejecería más lentamente que la gente en la Tierra.
        Otra cuestión es que si no tiene suficientes conocimientos de física, no sabría fundamentarlo. Pues bien, en este breve artículo intentamos explicar de manera asequible e independiente de conocimientos y edades, las consecuencias de no introducir el concepto de tiempo en el estudio de la aritmética. El soporte formal para matemáticos profesionales se puede ver mi ponencia [5] y su desarrollo teórico [6].

  1. Einstein y las abuelas. Aunque no está documentado, se atribuye a Einstein el dicho de que no entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicárselo a tu abuela. Sin embargo, sí está verificado que el genial físico manifestó a de Broglie que “todas las teorías físicas, expresiones matemáticas aparte, se deberían prestar a una descripción tan simple que incluso cualquier niño las podría entender” ([2]).
    En ese sentido, es mi humilde propósito explicar a las abuelas y no abuelas en que consiste la teoría de los Procesos dinámicos asociados a los números naturales ([6]).
  2. Pedro y Lucía cuentan y suman. Es seguro que si de manera independiente Pedro y Lucía cuentan los números 1, 2, 3, …, 12, los tiempos en los que los cuentan van a ser distintos. Y también es seguro que si hallan la suma 7+5 ambos van a obtener 12. Además, si no tienen en su memoria el resultado inmediato 12 pueden recurrir a los dedos de las manos, palillos, etc. para obtenerlo. Y esto implica que los tiempos que usa cada uno en el conteo no afecta al resultado final: 12
  3. El tío Petros, Goldbach y legiones matemáticas. Sabemos del colegio que los números primos son los números mayores que 1 y que no son divisibles más que por sí mismos y por la unidad. También sabemos que la sucesión de los primos 2, 3, 5, 7, …, es infinita y hemos oído hablar de los misterios que encierran.
    Por ejemplo, el escritor griego Apostolos Doxiadis, narra en su novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach ([3]) cómo un matemático trabaja de manera obsesiva en uno de los problemas más difíciles y aún no resueltos de las matemáticas: “La Conjetura de Goldbach”.
    Su enunciado es “Todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos”. Es curioso el que un problema de tan simple planteamiento se siga resistiendo después de 300 años de intentos por auténticas legiones de matemáticos.
  4. Dios, Kronecker y Peano. El matemático Leopold Kronecker manifestó “Dios hizo los números naturales; el resto es obra del hombre” ([1]).
    Pero parece ser que el matemático Giuseppe Peano no estaba muy de acuerdo y creó un conjunto de axiomas aritméticos para definir los números naturales.
  5. Kurt Gödel y la decepción. El lógico y matemático Kurt Gödel demostró que en la aritmética de Peano. existen proposiciones verdaderas sobre los números naturales que no pueden demostrarse a partir de los axiomas ([4]). Existe la sospecha de que una de esas proposiciones pudiera ser la anteriormente mencionada conjetura de Goldbach.
  6. ¿Se decepcionan Pedro y Lucía? ¡Huy!, para nada. Ambos saben sumar y multiplicar, y los resultado que obtienen son los mismos que cualquier otro mortal que lo hiciera bien con las manos, o bien usando los axiomas de Peano.
  7. Entonces, ¿qué ocurre? Lo que ambos no saben, es que Lucía puede tener más información aritmética que Pedro en algunos enunciados aritméticos debido a distintas aceleraciones que se crean en determinados movimientos que se producen al contar números en distintos estados de tiempo.
    En concreto, esto ocurre al menos para la conjetura de Goldbach. La aceleración que crea Pedro sin saberlo, puede tener una pérdida de información que no ocurre con la de Lucía.
  8. Puntos ciegos. Aunque hasta ahora se han demostrado miles y miles de propiedades aritméticas y se seguirán demostrando muchas más, si la aritmética se estudia independientemente del tiempo, no se pueden evitar ciertas singularidades aritméticas que como símil equivaldrían a puntos ciegos de algunos retrovisores de los coches: perdemos información.
  9. Conclusión. El tiempo añade información relevante a la aritmética. Este hecho de colosal importancia (y cuyos precisos términos aparecen en la sección 3.2 de [6] es deducible por razones exclusivamente técnicas (pero habíamos acordado que el espíritu iba de abuelas).
  10. Para terminar, una cita. El genial matemático J.J. Sylvester ([7]) manifestó:
    A veces he pensado que el profundo misterio que envuelve nuestras concepciones acerca de los números primos depende de las limitaciones de nuestras facultades en relación al tiempo, que como el espacio debe ser en esencia poli-dimensional y que esta y otras clases de verdades serían auto-evidentes para un ser cuyo modo de percepción fuera como superficie, opuesto a nuestra limitación del tiempo extendido linealmente.

Referencias
[1] Bell, E. T. The Doubter: Kronecker. Ch. 25 in Men of Mathematics: The Lives and Achievements of the Great Mathematicians from Zeno to Poincaré. New York: Simon and Schuster, pp. 466-483, 1986.
[2] Clark, Ronald W. Einstein: The Life and Times, William Morrow; 1st edition (April 10, 2007), p. 418
[3] Doxiadis, Apostolos. El Tío Petros y la conjetura de Goldbach, Ediciones B, 2000.
[4] Goldstein, Rebecca. Gödel: paradoja y vida, Antoni Bosch editor, 2006.
[5] Revilla, Fernando. Goldbach Conjecture and Peano Arithmetic, Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticas en Ingeniería Civil y Arquitectura (sección de desarrollos teóricos de la matemática aplicada) (Madrid, 2007), ref. 702, pg. 451-454, ISBN 978-84-7493-381-9.
[6] Revilla, Fernando. Dynamic processes associated to Natural Numbers, disponible en http://www.fernandorevilla.es
[7] Sylvester, J.J. On certain inequalities relating to prime numbers, Nature 38 (1888) 259-262, y reproducida en Collected Mathematical Papers, Volume 4, p. 600, Chelsea, New York, 1973.

5 respuestas a Un misterio de tiempo y aritmética

  1. Nacho dijo:

    Buenos días me resulta todo un tanto sorprendente, es que falla en algo la aritmética?

  2. Fernando Revilla dijo:

    Hola Nacho, bienvenido al blog. En cuanto a que te resulta sorprendente, tal vez sea porque lo que has leido sólo es una versión divulgativa de mi trabajo principal (referencia [6]) y cómo ya comento, todo se deduce por razones exclusivamente técnicas.
    No demuestro que falle nada en la aritmética, sino que (dicho grosso modo) , el primitivo concepto de numero natural tiene demasiados matices cómo para ser absorbido en su totalidad por su notación y/o axiomas sin añadir algo más, y en el caso que nos ocupa, el tiempo.
    Un saludo.

  3. Nacho dijo:

    Gracias cuando tenga algo de tiempo reflexionare sobre tu respuesta

  4. Emanuel dijo:

    ¿Es posible que kronecker tenga razón y los números naturales hayan sido creados por Dios?
    ¿Es posible que la matemática vista como una herramienta nos limite a no entender la profundidad de ella para entender parte de la naturaleza?
    Hay personas que tienen mucha intuición matemática y quizás ellos, con esa intuición, tengan una concepción más profunda de su naturaleza, como Lucía. Es interesante el artículo, aunque supongo que no podré entender esa relación entre tiempo y matemática hasta que tenga la madurez matemática suficiente

  5. Fernando Revilla dijo:

    En cuanto a la frase de Kronecker, y sin estar dentro de su cabeza creo que se refería a la imposibilidad de expresar todos los matices de los naturales de manera lógica. Si pensaba en eso, estaba en lo cierto, y mi trabajo en relación a la perdida de información al considerarlos como entes “estáticos”, lo demuestra. Y no hace falta tener una gran intuición para entender esa relación entre tiempo y aritmética; basta estudiar la parte técnica que requeriría $X$ horas y su interpretación que requeriría $Y$ horas.
    Pero puede también puede ocurrir que la interpretación que le de el lector en esas $Y$ horas no sea la correcta porque crea equivocadamente que son suficientes. :)

    Saludos.

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