Un operador autoadjunto y unitario

Proporcionamos un ejemplo de operador autoadjunto y unitario.

Enunciado
Sea  $V$ un espacio vectorial complejo de dimensión finita dotado de un producto escalar $\langle \;, \rangle$ y sea $W$ un subespacio de $V.$ Se considera la aplicación $$T:V\to V,\quad T(v)=w-w’,$$ en donde $v=w+w’$ con $w\in W$ y $w’\in W^{\perp}.$
a)  Demostrar que $T$ es lineal.
b)  Demostrar que $T$ es autoadjunto.
c)  Demostrar que $T$ es unitario.

Solución
a)  Dado que  $V=W\oplus W^{\perp},$ la descomposición de todo vector de $V$ en suma de uno de $W$ y otro de $W^{\perp}$ es ùnica, por tanto, la aplicación $T$ está bien definida. Veamos que $T$ es lineal. En efecto, sean $\alpha,\beta\in \mathbb{C}$ y sean $x,y\in V$ tales que $x=x_1+x’_1,$ $y=y_1+y’_1$ con $x_1,y_1\in W,$ $x’_1,y’_1\in W^{\perp}.$ Entonces, $$T(\alpha x+\beta y)=T[\alpha (x_1+x’_1)+\beta(y_1+y’_1)]=T[(\underbrace{\alpha x_1+\beta y_1}_{\in W})+(\underbrace{\alpha x’_1+\beta y’_1}_{\in W^{\perp}})]$$ $$=(\alpha x_1+\beta y_1)-(\alpha x’_1+\beta y’_1)=\alpha(x_1-x’_1)+\beta (y_1-y’_1)=\alpha T(x)+\beta T(y).$$ b)  Hay que demostrar que $T^*=T$ o de forma equivalente, que $\langle T(x),y\rangle=\langle x,T(y)\rangle$ para todo $x,y\in V.$ Tenemos por una parte $$\langle T(x),y\rangle=\langle x_1-x’_1,y_1+y’_1\rangle=\langle x_1,y_1\rangle-\langle x’_1,y_1\rangle+\langle x_1,y’_1\rangle-\langle x’_1,y’_1\rangle$$ $$=\langle x_1,y_1\rangle-0+0-\langle x’_1,y’_1\rangle=\langle x_1,y_1\rangle-\langle x’_1,y’_1\rangle.$$ Por otra parte, $$\langle x,T(y)\rangle=\langle x_1+x’_1,y_1-y’_1\rangle=\langle x_1,y_1\rangle+\langle x’_1,y_1\rangle-\langle x_1,y’_1\rangle-\langle x’_1,y’_1\rangle$$ $$=\langle x_1,y_1\rangle+0-0-\langle x’_1,y’_1\rangle=\langle x_1,y_1\rangle-\langle x’_1,y’_1\rangle.$$ Concluimos que $T$ es autoadjunto.

c)  Para todo $x\in V,$ $$T^2(x)=T[T(x)]=T(x-x’_1)=T(x_1+(-x’_1))=x_1-(-x’_1)=x_1+x’_1=x,$$ es decir $T^2=I,$ lo cual implica que $T^{-1}=T.$ Por el apartado anterior, $T^{-1}=T^*,$ luego $T$ es unitario.