Una aplicación de la fórmula de Taylor

Enunciado
De una función  $f:(-2,2)\to\mathbb{R}$  sabemos que admite derivadas de cualquier orden y que las derivadas se pueden acotar del siguiente modo $$|f^{(n)}(x)|\leq \displaystyle\frac{2^{n+2}n!}{3^{n+1}}\qquad( \forall{n\in\mathbb{N}},\;\forall{x\in [0,1/2]}).$$ Además conocemos que  $f(0)=1$  y  $f^{(n)}(0)=\displaystyle\frac{n!}{2^n}$. Calcúlese $f(1/2).$
Indicación.  Puede ser útil encontrar una expresión para  $P_{f,n,0}\;(1/2)$  donde  $P_{f,n,0}$  es el polinomio de Taylor de orden  $n$ de la función  $f$  en  $0$.

(Propuesto en examen, Cálculo, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Si  $p_n$  es el polinomio de Taylor de orden $n$  de  $f$  en  $0$, tenemos $$p_n(x)=f(0)+\displaystyle\frac{f'(0)}{1!}x+\displaystyle\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\ldots +\displaystyle\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \displaystyle\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k,$$ $$f(x)=p_n(x)+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\;x^{n+1},$$  con  $\xi$  comprendido entre  $0$  y  $x$. Por hipótesis  $f(0)=1$  y  $f^{(k)}(0)=k!/2^k$, es decir $$p_n(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{k!}{2^k}\;\dfrac{1}{k!}x^k=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{x^k}{2^k}=1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{2^2}+\ldots +\dfrac{x^n}{2^n}.$$ Si  $x=1/2$  entonces  $\xi\in (0,1/2)$  y por la hipótesis dada sobre la acotación,  $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq 2^{n+3}(n+1)!/3^{n+2}$. En consecuencia $$\left |\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right |\leq \dfrac{2^{n+3}\;(n+1)!}{3^{n+2}\;(n+1)!}\cdot \dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{4}{3^{n+2}}.$$ Escribamos la fórmula de Taylor para  $x=1/2$ $$f(1/2)=1+\dfrac{1/2}{2}+\dfrac{(1/2)^2}{2^2}+\ldots+\dfrac{(1/2)^n}{2^n}+E_n$$ $$=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4^2}+\ldots+\dfrac{1}{4^n}+E_n\;,\quad E_n=\dfrac{f^{(n)}(\xi)}{(n+1)!}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}.$$ Por otra parte y aplicando la fórmula de la suma de los  $n+1$  primeros términos de una progresión geométrica $$f(1/2)=\dfrac{1(1/4^{n+1}-1)}{1/4-1}+E_n=\dfrac{4}{3}\left(1-\dfrac{1}{4^{n+1}}\right)+E_n.\qquad (1)$$ Como  $0\leq E_n\leq 4/3^{n+2}$  y  $\lim_{n \to{+}\infty}4/3^{n+2}=0$  deducimos que   $$\lim_{n \to{+}\infty}E_n=0.$$ Tomando límites  en (1) cuando  $n\to +\infty$  obtenemos  $$f(1/2)=4/3(1-0)+0=\dfrac{4}{3}.$$