Una cuádrica como lugar geométrico

Enunciado
Hallar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos del espacio tales que la razón de sus distancias al plano $x+y+z=9$ y al punto $(1,1,1)$ es $\sqrt{3}.$ Comprobar que se trata de una cuádrica (ecuación de segundo grado), clasificarla y hallar su ecuación reducida.

(Propuesto en examen, Álgebra, ETS de Ing. de Montes, UPM).

Solución
Llamemos $P_0$ al punto $(1,1,1),$ $\pi$ al plano $x+y+z=9,$ $P(x,y,z)$ a cualquier punto del espacio, y $\mathcal{L}$ al lugar geométrico pedido. Entonces:

$$P\in \mathcal{L} \Leftrightarrow \dfrac{d(P,\pi)}{d(P,P_0)}=\sqrt{3}\Leftrightarrow d(P,\pi)=\sqrt{3}\;d(P,P_0)
\Leftrightarrow$$$$
\left | \dfrac{x+y+z-9}{\sqrt{3}}\right |=\sqrt{3}\;\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2}.$$

Elevando al cuadrado ambos miembros de la última igualdad:

$(x+y+z-9)^2=9[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2].$

Operando y simplificando obtenemos el lugar geométrico pedido:

$\mathcal{L}\equiv 4x^2+4y^2+4z^2-xy-xz-yz-27=0.$

Escribamos ahora la matriz $A$ de la cuádrica. Podemos multiplicar ambos miembros de la ecuación por $2$ para evitar fracciones, obteniendo:

$A=\begin{bmatrix}{\;\;8}&{-1}&{-1}&{\;\;\;0}\\{-1}&{\;\;8}&{-1}&{\;\;\;0}\\{-1}&{-1}&{\;\;8}&{\;\;\;0}\\{\;\;0}&{\;\;0}&{\;\;0}&{-54}\end{bmatrix}\;.$

Hallemos los valores propios asociados a la cuádrica, para ello restamos a la segunda y tercera fila la primera y a continuación, a la primera columna le sumamos las demás:

$\begin{vmatrix}{8-\lambda}&{-1}&{-1}\\{-1}&{8-\lambda}&{-1}\\{-1}&{-1}&{8-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\;\;8-\lambda}&{-1}&{-1}\\{-9+\lambda}&{9-\lambda}&{\;\;0}\\{-9+\lambda}&{\;\;0}&{9-\lambda}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\;\;6-\lambda}&{-1}&{-1}\\{0}&{9-\lambda}&{\;\;0}\\{0}&{\;\;0}&{9-\lambda}\end{vmatrix}$ $
=(6-\lambda)(9-\lambda)^2=0 \Leftrightarrow \lambda=6\mbox{ (simple) }\vee \;\;\lambda=9\mbox{ (doble)}.$

Para $\delta=A_{44}$ y $\Delta=\det (A)$ y $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ los valores propios asociados a la cuádrica, sabemos que una ecuación reducida de la misma es:

$\lambda_1 X^2+\lambda_2 Y^2+\lambda_3 Z^2+\dfrac{\Delta}{\delta}=0\quad(\mbox{si } \delta\neq 0).$

Dado que $\Delta=-54\delta,$ una ecuación reducida de $\mathcal{L}$ es $6X^2+9Y^2+9Z^2-54=0,$ que la podemos escribir en la forma $X^2/9+Y^2/6+9Z^2/6=1.$ En consecuencia:

$\mathcal{L}\equiv \dfrac{X^2}{3^2}+\dfrac{Y^2}{(\sqrt{6})^2}+\dfrac{Z^2}{(\sqrt{6})^2}=1.$

Se trata de un elipsoide de semiejes $3,\sqrt{6},\sqrt{6}.$