Wronskiano

Estudiamos la relación entre el wronskiano y la dependencia lineal.

Enunciado
Sea  $I$ un intervalo de la recta real y  $f_1,\ldots,f_n$ funciones derivables hasta orden $n-1$ en  $I.$ Se define el wronskiano de dichas funciones como $$W(f_1, \ldots, f_n) (x):=
\begin{vmatrix}
f_1(x) & f_2(x) & \cdots & f_n(x) \\
f_1′(x) & f_2′(x) & \cdots & f_n’ (x)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)}(x)& f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x)
\end{vmatrix},\quad x\in I.$$
Demostrar que si el wronkiano es distinto de cero en algún punto de $I,$ entonces las funciones $f_1,\ldots,f_n$ son linealmente independientes en $I.$
Aplicación: demostrar que las funciones  $f_1(x)=\sin x,$  $f_2(x)=x^3$ $f_3(x)= 1$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}.$
Demostrar que el recíproco del resultado del apartado (a) no es cierto. Para ello considérense las funciones en $I=\mathbb{R}$ dadas por $g_1(x)=x^3,$ $g_2(x)=\left|x\right|^3.$

Solución
1. Sea  $x_0\in I$ tal que  $W(f_1, \ldots, f_n) (x_0)\ne 0.$ Veamos que las funciones $f_1,\ldots,f_n$ son linealmente independientes en $I.$ En efecto, $$\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\cdots+\lambda_nf_n=0$$ $$\Rightarrow \lambda_1f’_1+\lambda_2f’_2+\cdots+\lambda_nf’_n=0$$ $$\Rightarrow \lambda_1f_1^{\prime\prime}+\lambda_2f^{\prime\prime}_2+\cdots+\lambda_nf^{\prime\prime}_n=0$$ $$\ldots$$ $$\Rightarrow\lambda_1f^{(n-1)}_1+\lambda_2f^{(n-1)}_2+\cdots+\lambda_nf^{(n-1)}_n=0.$$ Sustituyendo $x=x_0$ obtenemos el sistema lineal homogéneo $$\begin{bmatrix}
   f_1(x_0) & f_2(x_0) & \cdots & f_n(x_0) \\
   f_1′(x_0) & f_2′(x_0) & \cdots & f_n’ (x_0)\\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   f_1^{(n-1)}(x_0)& f_2^{(n-1)}(x_0) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x_0)
   \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1\\{\lambda_2}\\ \vdots\\{\lambda_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\{0}\\ \vdots\\{0}\end{bmatrix}.$$ El determinante de la matriz del sistema es $W(f_1, \ldots, f_n) (x_0)\ne 0,$ lo cual implica que $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0,$ es decir $f_1,\ldots,f_n$ son linealmente independientes en $I.$
2. El wronskiano es $$W(f_1,f_2)(x)=\begin{vmatrix}{\;\;\sin x}&{x^3}&{1}\\{\;\;\cos x}&{3x^2}&{0}\\{-\sin x}&{6x}&{0}\end{vmatrix}=3x(2\cos x+x\sin x).$$ Tenemos $W(f_1,f_2)(\pi/2)=(3\pi/2)\cdot (\pi/2)\ne 0,$ por tanto  $f_1,f_2,f_3$ son linealmente independientes en $\mathbb{R}.$
3. Veamos que  $g_1(x)=x^3,$ $g_2(x)=\left|x\right|^3$ son linealmente independientes en $I=\mathbb{R}.$ Efectivamente, si $\lambda_1g_1(x)+\lambda g_2(x)=0$ y dando a $x$ los valores $1$ y $-1$ obtenemos $\lambda_1+\lambda_2=0$ y $-\lambda_1+\lambda_2=0,$ lo cual implica que $\lambda_1=\lambda_2=0.$ Sin embargo, el wronskiano se anula en todo $x$ real pues $$x\ge0\Rightarrow W(g_1,g_2)(x)=
   \begin{vmatrix}
   x^3 & x^3 \\
   3x^2 & 3x^2
   \end{vmatrix}
   = 3x^5 – 3x^5 = 0.$$ $$x<0\Rightarrow W(g_1,g_2)(x)=
   \begin{vmatrix}
   x^3 & -x^3 \\
   3x^2 & -3x^2
   \end{vmatrix}
   = -3x^5 + 3x^5 = 0.$$