Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Publicada el enero 30, 2014 por Fernando Revilla

Proporcionamos ejercicios de aplicación de las ecuaciones de Cauchy Riemann.

RESUMEN TEÓRICO
  • Teorema  (Condiciones necesarias para la derivabilidad de una función compleja)
    Sean $A\subset \mathbb{C}$ conjunto abierto, $ z_0=x_0+iy_0\in A $ y $f:A\to \mathbb{C}$ una función compleja. Sean $ u=u(x,y)$ y $ v=v(x,y)$ las funciones parte real e imaginaria de $f $ respectivamente. Entonces, si $f $ es derivable en $ z_0$
    $(i)$ Existen las derivadas parciales $$u_x(x_0,y_0)\;,\;u_y(x_0,y_0)\;,\;v_x(x_0,y_0)\;,\;v_y(x_0,y_0).$$ $(ii)$ Se verifican las relaciones (ecuaciones de Cauchy-Riemann) $$u_x(x_0,y_0)=v_y(x_0,y_0)\;,\;u_y(x_0,y_0)=-v_x(x_0,y_0) .$$ $(iii)$ $ f'(z_0)=u_x(x_0,y_0)+iv_x(x_0,y_0).$
  • Teorema  (Condiciones suficientes para la derivabilidad de una función compleja)
    Sean $A\subset \mathbb{C}$ conjunto abierto, $ z_0=x_0+iy_0\in A $ y $f:A\to \mathbb{C}$ una función compleja. Sean $ u=u(x,y)$ y $ v=v(x,y)$ las funciones parte real e imaginaria de $f $ respectivamente. Supongamos que $u_x,\;u_y,\;v_x,\;v_y$ son continuas en $(x_0,y_0)$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann en este punto. Entonces, $f$ es derivable en $z_0.$
    Enunciado
  1. Demostrar que la función $f(z)=\lambda \bar{z}$ con $\lambda\neq 0$ constante real no es derivable en ningún punto de $\mathbb{C}.$
  2. Determinar los puntos del plano complejo para los cuales es derivable la función $f(z)=\left|z\right|\; \textrm{Re}\bar{z}$.
  3. Demostrar que si $f(z)=e^z$ entonces $f'(z)=e^z$ para todo $z$ del plano complejo.
    Solución
  1. Tenemos $ u=\lambda x,\;v=-\lambda y$. Para todo punto del plano complejo $ u_x=\lambda$ y $\;v_y=-\lambda.$ Como en todo punto del plano complejo $u_x\neq v_y$, no se cumplen las ecuaciones de Cauchy Riemann y por tanto $f$ no es derivable en ningún punto de $\mathbb{C}$.
  2. $f(z)=x\sqrt{x^2+y^2}$, por tanto $u=x\sqrt{x^2+y^2},\;v=0$. Si $(x,y)\neq (0,0)$ $$u_x=\dfrac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\;,\;u_y=\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\;,\;v_x=0\;,\;v_y=0.$$ Entonces $u_x\neq 0$ lo cual implica $u_x\neq v_y$, es decir $f$ no es derivable en $z=x+iy$ si $(x,y)\neq (0,0)$. Analicemos si es derivable en $z=0:$ $$u_x(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{h\sqrt{h^2}}{h}}=0$$ $$ u_y(0,0)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{u(0,h)-u(0,0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\displaystyle\frac{0}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to 0}{0}=0.$$ Las funciones $ u_x,\;u_y,\;v_x,\:v_y $ son por tanto $$ u_x=\left \{ \begin{matrix} \dfrac{2x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right. $$ $$ u_y= \left \{ \begin{matrix}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{ si }& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \mbox{si}& (x,y)=(0,0)\end{matrix}\right.$$ $$ v_x=v_y=0\;, \quad \forall (x,y)\in\mathbb{R}^2.$$ Usando coordenadas polares fácilmente verificamos que $$\lim_{(x,y) \to (0,0)}u_x=0=u_x(0,0),\quad \lim_{(x,y) \to (0,0)}u_y=0=u_y(0,0),$$ es decir se cumplen las condiciones suficientes del Teorema 2, en consecuencia $f$ es derivable en $z=0$ y además $$f'(0)=u_x(0,0)+iv_x(0,0)=0+0i=0.$$
  3. Tenemos $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, por tanto $u=e^x\cos y,\;v=e^x\sin y$. Además, $$u_x=e^x\cos y,\;u_y=-e^x\sin y,\;v_x=e^x\sin y,\;v_y=e^x\cos y.$$ Estas parciales son continuas en todo $\mathbb{R}^2$ y verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por tanto $f$ es derivable en todo el plano complejo y su derivada es $$f'(z)=u_x+iv_x=e^x\cos y+ie^x\sin y=e^z.$$
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